NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER – Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Jamais carrée

Divisibilité

 

Sommaire de cette page

>>> Quelques propriétés

>>> Démonstration rapide et illustrée

>>> Démonstration mathématique

>>> Facteurs premiers d'une factorielle

 

 

 

FACTORIELLES – Propriété

Factorielle jamais carrée

 

Sauf 1!, les factorielles ne sont jamais un carré.

Exemple de démonstration s'appuyant sur l'observation.

Puis démonstration selon une poursuite sans fin de la factorielle carrée.

 

 

 

Quelques propriétés avant de se lancer

La factorisation d'un nombre carré comporte des facteurs premiers au moins au carré ou puissance 4, ou puissance 2k.

 

  9 = 32

16 = 24

36 = 22 x 32

 

180 = 22 x 32 x 5 n'est pas un carré (le facteur premier 5 est seul)

 

Pour être un carré, le facteur premier le plus grand du nombre doit être répété.

 

180 x 5 = 22 x 32 x 5 x 5 est un carré

180 x 5 = 900 = 302

 

 

Le théorème de Tchebychev dit que, au moins un nombre premier se glisse entre n et 2n.

 

Entre 7 et 14, on trouve les nombres premiers: 11 et 13

 

 

 

Démonstration rapide et illustrée

Le tableau des nombres factoriels

et de leurs facteurs premiers

Démonstration en trois temps

 

 

 

 

Démonstration mathématique

Propriété des factorielles

Le dernier nombre premier à diviser n! est inférieur à n.

8! = 40 320

=  27 x 32 x 5 x 7

et 7 < 8

Principe de la démonstration

 

Soit un nombre de départ. On montre qu'il faudrait qu'il soit plus grand pour que sa factorielle soit un carré. Or c'est impossible, car il faudrait qu'il soit encore plus grand, etc.

C'est le théorème de Tchebychev qui joue le trouble-fête en introduisant un nombre premier qui relance la poursuite sans fin.

 

1) Si n est premier

n! = 1x2x …x p

5! = 23 x 3 x 5 = 120

Pour former un carré le facteur p doit être doublé.

Or, tous les autres facteurs sont inférieurs à p. Impossible de doubler p.

Pas d'autre 5 dans la factorisation de 120.

120 ne peut pas être un carré.

2) Si n est composé, le plus grand premier inférieur à n est p

n = Ap

p < n

8! = 40 320

=  27 x 32 x 5 x 7

p = 7

Pour former un carré le facteur p doit être répété (seul ou multiples).

La seule chance est que n soit supérieur ou égal  à 2p

n  2p

Pour faire un carré, il faut au moins un autre 7.

Ce sera le cas pour 14 > 8

 

Or selon le théorème de Tchebychev un autre premier p' est là

p' < 2p  n

Avant d'atteindre 14, les premiers 11 et 13 font leur apparition.

La présence de p' impose que lui aussi soit doublé pour former un carré

de n! à 2p! il n'y a pas de carré

De 8! à 14! il n'y a pas de carré

En repartant de n = p', on recommence la démonstration depuis le début

p'! n'est pas un carré car p' est premier

Pour les nombres suivant avant d'atteindre 2p', il y aura au moins un p".

Etc.

11! n'st pas premier

il faudrait atteindre (2x11)! mais, entre-temps s'autre premiers vont apparaitre (13, 19 et 27).

 

 

 

Facteurs premiers d'une factorielle

 

Formule de Polignac

 

Pour un entier  n > 0, la décomposition en facteurs premiers de n! est donnée par cette formule.

Sorte de décomposition p-adique

 

 

Exemple

 

5! = 120 = 23 x 3 x 5

 

Alors p = {2, 3, 5}

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Application à (n – 2)! + (n + 2)!

*    Nombres permutés

*    Factorielle et dénombrement

*    Voir haut de page

 

Voir

*    Compter

*    Débutant et dénombrement

*    Factorielle: nième différence d'une puissance n

*    Factorielles divisées

*    Factorielles et grands nombres

*    Factorielles et leurs diviseurs

*    Factorielles impaires

*    Formule de Stirling

*    Problème de Brocard (n! + 1 = k²)

*    Programmer la fonction factorielle

*    Théorème de Wilson

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/FactCarr.htm