NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Propriétés

Produits Carrés

Bhargava

Super-factorielles

Primorielle

Jamais carré

Oscillante

Sous-factorielle

Comporielle

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés

>>> Identité

>>> Nombre dans sa factorielle

>>> Quantité carrée de chiffres

>>> Produits de factorielles

>>> Quantité de facteurs dans les factorielles

>>> Programmation

>>> Nombres de Jordan-Polya

>>> Factorielles et puissances de 2

>>> Factorielles et somme des entiers

 

 

 

 

FACTORIELLES – Propriétés

 

La somme des entiers consécutifs conduit aux nombres triangulaires; leur produit aux factorielles.

 

Factorielle n, avec n un entier naturel, est notée n! (1808 – Christian Kramp). Sa valeur est le produit de tous les entiers de 1 à n.

 

n! = 1 x 2 x 3 x … x n

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

 

Extraordinaire:  

40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!  

Trouvé en 1964

 

À partir de 2!, tous les nombres factoriels sont pairs.
Et, évidemment n! + 1 est impair, tout comme (n – 1)! + 1 pour n > 2.

 

La quantité  de permutations de n objets est égale  à factorielle n.

 

Il existe de nombreuses variantes impliquant le produit des nombres successifs d'une suite: factorielle de premiers, de Fibonacci

 

Relation fondamentale: 10! = 10 x 9! => n! = n (n – 1)! ou (n + 1)! = n + 1) n!

 

Retour à l'introduction sur les factorielles

 

 

PROPRIÉTÉS

 

Formulation (deux possibilités)


Propriété générale (récursivité)

 

La factorielle n s'obtient en multipliant la factorielle précédente par n: n! = (n – 1)! . n

Ex: 3! = 2! x 3 = 1 x 2 x 3

Voir Programmation

 

Factorielle n + 1 et n – 1

(n + 1)! = (n + 1) n!

(n + 1)! = (n + 1) n (n – 1)!

(n + 1)! = (n² + n) (n – 1)!

 

Ex: 5! = 3!  x (4² + 4) = 6 x 20 = 120

 

 

 

Factorielle somme et produit

 (n + m)! est divisible par n!  m!

 

Ex: (1.2.3.4.5.6.7) est divisible par (1.2.3) (1.2.3.4)

En divisant par 1.2.3.4 => 4.5.7 divisible par 1.2.3 ?

Oui, car le produit de n nombres consécutifs est divisible par n!

 

En fait, le quotient est un coefficient binomial

 

Factorielles et différences

Le produit des différences deux à deux de n nombres

est un multiple de 1! . 2! . 3! … (n–1)!

Ex: (3, 4, 5, 6, 7) => Diff(1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5)

Leur produit est divisible par 4! = 24 = 2 . 2 . 2 . 3

 

 

 

 

Simplification souvent possibles

 

 

 

 

Valeur de 0!

*    Par convention, et pour que les formules avec les factorielles soient toujours valables, on pose

*    Propriété générale des factorielles  

*    Pour n = 1, cela reste valable, alors

 

 

 

 

0! = 1

 

n! = n (n – 1)!

1! = 1 x 0!

 

 

Divisibles par 5, 9, 11 ...

 

*    Chaque factorielle est évidemment divisible par les facteurs qui la composent. Ex: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 est divisible par 2, 3 et 4.

 

A partir de 6!

*      Il comporte le produit 3 x 6, il est donc divisible par 9. On peut à partir de ce nombre exclure tous les nombres qui ne satisfont pas la preuve par neuf.

*      Et même, le cas échéant, restituer un chiffre manquant (x).

Ex:  16! = 20 922 789 8x8 000
Application de la preuve par 9 qui donne x = 8.

 

*      Conséquence: la somme des chiffres des factorielles est égale à un multiple e 9 à partir de 6!  Voir Table

 

A partir de 11!

*      Ils sont divisibles par 11, alors la somme des chiffres de rang pair doit être égale à la somme des chiffres de rang impair modulo 11.

Ex: 17! = 355 687 428 x 96 000.
Preuve par 9: x = 0 ou 9
Preuve par 11: x = 0.


A partir de 5! Quelle est la quantité de zéros

  5!          elles sont terminées par            0

10!            "                                                 00

15!            "                                                 000

20!            "                                                 0000

Etc.

 

*      La quantité de zéro en fin de factorielle résulte d'un facteur 10 ou d'un produit de 2 par 5. Ainsi 5! = 120 ou 10! = 3628800. Suite en valeurs des factorielles.

 

 

 

 

Rencontre inattendue

*    La différence nième entre puissance nième des nombres successifs est égale à factorielle n.

Suite >>>

 

*    Cette propriété permet d'exprimer une factorielle en somme de puissances

 

Suite >>>

 

Somme des inverses

*    La somme des inverses des factorielles est égale à e = 2, 718…

Suite >>>

 

*    Les inverses des factorielles sont les coefficients du développement limité de la fonction exponentielle. Pour x = 1, on retrouve la formule ci-dessus.

*    Une sommation convergeant vers 1

 

 

 

IDENTITÉS

Propriété

= 1 x 3 x 5 … (2n – 1) x 2n

 

= (2n – 1)!!   x 2n

Démonstration

(2n)!

= 2n (2n–1)(2n–2) … 4 x 3 x 2 x 1

= {2n (2n–2)(2n–4) … 4 x 2} {(2n–1)(2n–3) … 3 x 1}

= 2n {n (n–1)(n–2) … 2 x 1} {1 x 3x … (2n–1)}

= 2n {n !} {1 x 3x … (2n–1)}

= 2n {1 x 3x … (2n–1)}                CQFD

Exemple

= 26 {1 x 3x … x11}               

= 64 x 10 395 = 665 280

Voir Factorielles impaires / Identités somme / Identités produits

 

 

IDENTITÉS (suite)

Propriété

 

Exemple

(n + 1)! – 1 = 1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ n.n!

 

5! – 1 = 120 – 1 = 1 + 4 + 18 + 96 = 119

Démonstration par induction

Vrai pour 1

2! – 1 = 1 = 1.1! = 1

Supposons

1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ k.k!  = (k + 1)! – 1

En ajoutant le terme suivant

1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ k.k! + (k+1)(k+1)!

Avec notre hypothèse

(k + 1)! – 1  + (k+1)(k+1)!

= (k + 1)!  (k + 2) – 1

= (k + 2)! – 1

Conclusion

Nous obtenons l'égalité pour k + 1 en supposons l'identité vrais pour k, or l'identité est vraie pour 1, elle vraie pour tout n. 

 

 

Nombre dans sa factorielle

 

Combien de fois retrouve-t-on le nombre parmi les chiffres de sa factorielle ?

 

Exemple: 37! = 1376 3753091226

3450463159 7958158090 2400000000

 

Le tableau inique que pour n = 37, la quantité de chiffres de n!  est Q(n!) =  44 et la quantité de motifs (QM) = 2. Cette valeur étant la plus petite pour deux fois la répétition du motif.

Parmi les nombres de 10 à 99, la moitié (50) ne présente pas leur nombre dans leur factorielle.

Le nombre 313 est le plus petit comportant trois 313 dans sa factorielle.

 

Record  à deux chiffres

Parmi les 156 chiffres de factorielle 99, on trouve deux fois 99 et une fois 9999. Ce dernier comptant pour trois motifs.

Record à trois chiffres

n = 743 avec sept fois le nombre 743 dans factorielle 743.

Record à quatre chiffres

On atteint un maximum de onze fois avec 9 789.

 

Cas des nombres à trois chiffres

Ils sont 88 à avoir trois fois leur nombre dans leur factorielle.

Le plus petit: 313.

Le plus grand: 998.

Les trois lignes centrales donnent trois valeurs amusantes.

Ils sont très nombreux, c'est pourquoi on ne relève que le plus petit représentant.

 

Factorielle 313 = 6,579… 10646

65793432740455642647709037638342582825264743429360

05243900489177405470350220433230939383209772168611

13404782248746757246674499272834449105873477722422

94621791839991003305021414813734908119913470772256

85877652567300521746480818761802199196482567366043

09104156892109214685604399884564212874452514780535

14856729569138579780348511690186183004848215820661

87291044267034358150653142986394940363134487057657

53196634315412681272767157817919534149422833739716

66313819021025510986232142254490313035180871523347

14536670592053291060366995432947073884645326789672

23351478732559535308800000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000

 

Plus petit cas de quantité de motifs

 

Cas des nombres à trois chiffres

 

 

Quantité carrée de CHIFFRES

 

*    Il existe des nombres factoriels dont la quantité de chiffres est un carré

Il en existe 20 jusqu'à 1 000!
On note N = quantité de chiffres de n!
 

 

*    On peut écrire ces nombres particuliers sous la forme de pyramides: 

 

 

Produits de factorielles selon base de numération

 

Un nombre est converti en base b. On calcule le produit des factorielles des chiffres. On note l'égalité entre ce produit et le  nombre. Toutes les possibilités pour au moins n = 1 000 000.

La valeur triviale 2 = 2 en base k = 2! n'est pas mentionnée.

On remarque qu'il n'existe pas d'égalité en bases:  2, 3, 4, 10, 13, 14, 15 et ? (non testé)

 

Source pour les grands nombres: Those fascinating numbers – De Koninck

Calculs et vérifications avec Maple

Voir Produit de factorielles en base 10

 

 

Devinette – Solution et compléments

Quantité de facteurs dans une factorielle

 

Dernier chiffre


 
Quel est le dernier chiffre du produit suivant:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 … x 10 x …x 257

 

Dans le produit se trouvent 2 x 5 = 10. Tous les produits à partir de là vont se terminer par un 0. Le 10 qui suit va en apporte un deuxième: 10! = 3 628 800.

En fait, 100! comporte vingt-quatre 0. Pour 257! , c'est soixante-trois 0.

Retour

 

Calcul

La quantité de zéros finaux (trailing zeros) dans n! est donnée par cette formule, avec 5k  n:

 

Exemples (on ne conserve que les parties entières des divisions)

 

Du même ordre: quantité de puissances d'un premier dans un nombre factoriel

 

 

Exemples

Etc.

Or 10! = 28 x 34 x 52 x 7

 

Comment trouver combien de fois un certain nombre dans une factorielle?

Prendre la factorisation du nombre et chercher combien de fois on y trouve chaque facteur.

Exemple: combien de fois 900 dans 50!

 

900 = 22 x 32 x 52

 

50! = 247 x 322 x 512 x k   = 212 x 312 x 512 x 235 x 310 x k 

                                         =       (900)6        x k'       

Soit 900 présent six fois dans 50!.

 

 

 

 

Programmation de factorielle n

Description détaillée pour novices

 

Algorithme

 

 

 

Initialisation

Le premier pas de l'algorithme consiste à entrer la valeur de n.

L'initialisation va placer 1 dans la case mémoire nommée F, valeur initiale de la factorielle.

Puis 1 dans la case nommée i, un index qui va aller de 1 à n.

 

Boucle de calcul

On commence par tester si notre index i a atteint la valeur de n. Dans le cas où n = 1, on sort immédiatement vers l'impression de la valeur F = 1, valeur donnée à l'initialisation.

Si i n'est pas encore égal à n, alors on multiplie la valeur courante de F par la valeur de i. Puis on passe à la valeur suivante de i. Tant que i n'est pas égal à n, on va multiplier F par i, ce qui est bien la définition de la factorielle.

Lorsque l'index  i a atteint la valeur de n, alors on sort de la boucle pour aller à l'impression de F.

 

 

Programmation Maple

 

 

Pour calculer 10!, par exemple, on donne à n la valeur 10. Cette opération est indiquée par le signe ":="; ceci, pour bien indiquer qu'il s'agit d'une attribution (d'une affectation) et non d'une égalité. Affectation également de 1 à F.

Test si n = 0 ou si n = 1, auxquels cas, la valeur de la factorielle sera 1.

Boucle avec l'index i qui va de 2 à n et qui calcule successivement F fois i et place le résultat dans F.

Fin de boucle (do à l'envers) et de test (if à l'envers).

Impression de n et de F.

Résultat du traitement du programme (en bleu):

10! = 3 628 800.

Voir Programmation / Maple

 

 

 

Programmation avec récursivité

 

Définition de factorielle(n)

Si n = 0

Alors   fact(n) = 1

Sinon  fact(n) = n x fact(n – 1)

Retourner fact(n)

 

 

 

Programmation Scheme

 

 

 

Définition d'une fonction factorielle qui pourra être appelée par d'autres programmes. (On dit aussi procédure)

Si n = 0 retourner la valeur 1, sinon faire le produit de n par la factorielle de n-1, celle-ci refaisant appel à la fonction elle-même avec la valeur n-1. C'est le mode "magique" de la  récursivité.

 

Scheme est un langage de programmation fonctionnel dérivé du LISP. Langage adapté à la logique et à la récursivité.

 

Définition d'une fonction factorielle.

Les opérateurs sont en tête, suivi des arguments. Ainsi if (= n 0) vaut si n = 0.

Donc, si n = 0 retourner la valeur 1, sinon faire le produit(*) de n par la factorielle de n-1, celle-ci refaisant appel à la fonction elle-même avec la valeur n-1.

Toutes les parenthèses finales ferment les parenthèses ouvertes préalablement.

 Voir Même programme (récursif) en Maple

 

 

 

Programme listant les factorielles (Maple)

 

 

 

On place la valeur de a(n) = n! dans a.

Puis, l'instruction seq  (pour séquence) calcule a(n) pour toutes les valeurs de n de 0 à 10.

Entre crochets [n, a(n)] signifie que l'on crée une suite de doublets comportant n et n!.

Le point-virgule final indique que les valeurs doivent être affichées.

 

Voir Calcul des sous-factorielles

 

Voir Factorielle – Programmation avec Maxima

 

 

 

 

Nombre de Jordan-Polya

 

Définition

 

Nombres qui peuvent s'écrire comme produit de factorielles.

 

Exemples 

2! x 3! = 2 x 6 = 12

2!2 x 3! = 22 x 6 = 24

2!15 x 3!2 = 1 179 648

2!2 x 3!3 x 4!4 = 286 654 464

 

Curiosité de forme

786 432 = 218 . 3 = 2!15 . 4!

               = 1024 x 768

 

Applications

Combinatoire: soit k ensembles de nk objets. La quantité de permutations de la somme de ces objets, en maintenant adjacents les objets d'un même groupe est un nombre de J-P = k! x (produit des factorielles des nk).

 

 

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 120, 128, 144, 192, 216, 240, 256, 288, 384, 432, 480, 512, 576, 720, 768, 864, 960, 1024, 1152, 1296, 1440, 1536, 1728, 1920, 2048, 2304, 2592, 2880, 3072, 3456, 3840, 4096, 4320, 4608, 5040, 5184, 5760, 6144, 6912, 7680, 7776, 8192, 8640, 9216, 10080, 10368, 11520, 12288, 13824, 14400, 15360, 15552, 16384, 17280, 18432, 20160, 20736, 23040, 24576, 25920, 27648, 28800, 30240, 30720, 31104, 32768, 34560, 36864, 40320, 41472, 46080, 46656, 49152, 51840, 55296, 57600, 60480, 61440, 62208, 65536, 69120, 73728, 80640, 82944, 86400, 92160, 93312, 98304, 103680, 110592, 115200, 120960, 122880, 124416, 131072, 138240, 147456, 155520, 161280, 165888, 172800, 181440, 184320, 186624, 196608, 207360, 221184, 230400, 241920, 245760, 248832, 262144, 276480, 279936, 294912, 311040, 322560, 331776, 345600, 362880, 368640, 373248, 393216, 414720, 442368, 460800, 483840, 491520, 497664, 518400, 524288, 552960, 559872, 589824, 604800, 622080, 645120, 663552, 691200, 725760, 737280, 746496, 786432, 829440, 884736, 921600, 933120, 967680, 983040, 995328, 1036800, 1048576, 1088640, 1105920, 1119744, 1179648, …

 

Exemple de multi-configuration

 DicoNombre 192

 

 

Programmation

 

 

Commentaires

Programmation "bestiale" en faisant tourner autant de boucles que nécessaire de manière à analyser tous les cas de figure.

Pour cet affichage, on se limite aux nombres de Jordan-Polya inférieur à 1000.

La seule astuce qui simplifia grandement la vie consiste à utiliser  les ensembles, notés {…}. Chaque nouveau nombre N y prend place s'il n'y est pas encore et dans l'ordre.

Avec une exploration jusqu’à amx = 10, on trouve tous les nombres du tableau ci-dessus.

 

Affichage du résultat

Pour cet exemple d'affichage, on se limite aux nombres de Jordan-Polya inférieur à 1000, avec amx  = 5. Le dernier est 960 = 26.3.5.

Voir Variantes /  Programmation avec Maple / Noms des nombres

 

 

Factorielles et puissances de 2

Exemple

6! = 720 = 24 x 32 x 5

 

Avec tous les nombres pairs, les factorielles cumulent les facteurs 2, donc les puissances de 2.

6! est divisible par 24 = 16. On note [6, 4, 16]

 

Liste

[nombre-factorielle,

exposant de la puissance de 2,

la puissance de 2]

 

[2, 1, 2], [3, 1, 2], [4, 3, 8], [5, 3, 8], [6, 4, 16], [7, 4, 16], [8, 7, 128], [9, 7, 128], [10, 8, 256], [11, 8, 256], [12, 10, 1024], [13, 10, 1024], [14, 11, 2048], [15, 11, 2048], [16, 15, 32768], [17, 15, 32768], [18, 16, 65536], [19, 16, 65536], [20, 18, 262144], …

 

Programme – Maple

 

 

 

Résultat

 

 

Commentaires

Inutile de calculer les factorielles pour trouver la quantité de puissance de 2 contenue dans chaque factorielle.

Chaque facteur est divisé par 2 tant qu'il est effectivement divisible.

Première liste L: nombre n est p la quantité de puissance de 2 dans sa factorielle

Seconde liste: écart entre le nombre en factorielle et sa quantité de puissances de 2.

 

Écart

Le nombre n en factorielle est toujours proche mais supérieur à p, sa quantité de puissances de 2. Il est même croissant. Il faut attendre 1023! pour que l'écart e atteigne10.

 

Liste des records jusqu'à n = 10 000 000:

Voir ProgrammationIndex  / DicoNombre 1 023

 

 

 

Factorielles et somme des entiers

Somme des entiers

Nombres triangulaires

Factorielles

 

La somme des nombres jusqu'à n vaut: Sn =  n (n + 1) / 2.

Avec les nombres triangulaires: 2Sn = Tn.

Notez le produit de deux nombres consécutifs.

Nous nous proposons de voir la divisibilité du produit de deux nombres consécutifs par le produit des entiers de 1 à m (factorielle m).

 

Exemple 1

1+ 2 + 3 + … + 15

       = 120

       = 5 x 4!

       = 1 x 5!

La somme des nombres de 1 à 15 est divisible par 4! = 24 et par 5! = 120.

 

Exemple 2

1+ 2 + 3 + … + 224

       = 25 200

       = 35 x 6!

       =   5 x 7!

La somme des nombres de 1 à 224 est divisible par 6! = 720 et par 7! = 5 040.

 

Définition

Plus petit nombre n (comme 15 ou 224) tel que la somme entiers jusqu'à n est divisible par une factorielle.

 

 

Table: k, n, S

1, 1, 1

2, 3, 6

3, 3, 6

4, 15, 120

5, 15, 120  Ex: somme des nombres de 1 à 15 = 120 divisible par 5!

6, 224, 25200

7, 224, 25200

8, 4095, 8386560

9, 76544, 2929530240

10, 512000, 131072256000

11, 9511424, 45233598009600

12, 20916224, 218744223667200

13, 410572799, 84285011844633600

14, 672358400, 226032909361459200

15, 2985984000, 4458050225620992000

17, 1004293914624, 504303133475901247488000

17, 1004293914624, 504303133475901247488000

18, 78942076928000, 3115925754853174429630464000

Brève 364

 

 

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DicoNombre

*    Nombre 15

*      Nombre 3 249 (limite de calcul de la calculette Windows)

*    Nombre        5 040

*    Nombre 3 628 800

Site

*    Ensembles finis, dénombrement, ensembles infinis – Géraud Sarrebourse de la Guillonnière – 2014 – pdf 59 pages

*    OEIS A232097 – a(n) = least k such that 1+2+3+...+k (k-th triangular number) is a multiple of n!

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