NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Géométrie

 

INDEX

 

Carré

 

Géométrie

 

 

 

Quadrilatère

Carré – Introduction

Construction

Aire

Carré – Propriétés

Passage du bassin

 

Sommaire de cette page

>>> Sécantes orthogonales

>>> Médianes et semi-médianes

>>> Diagonale brisée

>>> Rotation – Bon à savoir

>>> Deux carrés

 

 

 

Carrés – Propriétés

 

Devinette

Combien de possibilités de couper ce carré en deux parties égales en suivant les lignes du quadrillage ?

Solution

 

 

 

Sécantes orthogonales

Théorème

Dans un carré deux sécantes orthogonales découpent des segments de même longueur.

 

 Les segments bleus ont même longueur quelle que soit la position du point de croisement.

 

Démonstration

Dans les triangles rectangles semblables avec l'angle alpha:

 

Or, a + b = c + d  => x + y = v + w

 

Voir Construction du carré passant par quatre points

 

 

 

Médianes et semi-médianes

 

Carré ABCD, E milieu de BC et F et G milieux de BE et EC.

Quelle est la longueur de la médiane AE et celles des semi- médianes AG et AF ?

 

Diagonale AC avec AB = a = 10

 

Longueurs des segments

 

Angles

 

Voir Médianes du triangle équilatéral  / Diagonales des polygones

 

 

Diagonale brisée

Énigme

 

On connait les dimensions de cette diagonale brisée à angles droits.

Trouver la longueur du côté du carré.

 

 

 

Solution

 

Tracer la diagonale (verte) et translater deux segments de sorte que l'on retrouve un triangle rectangle.

Avec Pythagore:

D² = 21² + 3² = 450

D = 15

 

Encore Pythagore pour le côté:

C² + C²  = D² = 2 C²

 

 

 

Carré avec diagonale brisée

 

Détail pour solution

 

 

ROTATION – Bon à savoir!

La longueur d'un segment est conservée suite à une rotation.

 

 

Cette propriété anodine va nous servir

Même si la rotation n'apparaît pas toujours au premier coup d'œil.

 

 

Deux carrés

Deux carrés  avec un sommet commun A.

 

On dessine les deux segments indiqués en rouge.

On va démontrer que ces deux segments sont égaux (de même mesure) et disposés à angle droit.

 

 

 

 

 

Rotation de centre A d'un angle de 90 °

    

B devient D      et             b devient d

 

C'est vrai pour les segments

ayant ces extrémités

Bb devient Dd

Bd et Dd ont même longueur

C'est une rotation de 90°

Bb est perpendiculaire à Dd

Exemples de cas extrêmes

  

 

 

 

Devinette – Solution

Les six façons de couper le carré en deux parties égales

(hors symétries et rotations)

Retour / Autres énigmes

 

 

 

 

Suite

*    CarréSuite

*    Aire du carré

*    Carré rigide

*    Carré dans le cube

*    Carré découpé en 5

*    Construction du carré passant par quatre points

*    Doubler le carré

*    Découverte des quadrilatèresJuniors

Angles

*    90°

*    180°

*    360°

*    Sommes des angles

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