NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   CARRÉ

 

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Géométrie

 

 

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Géométrie 

Carré

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Carré (suite)

Pavage

Allumette

Carré en 5

Aire du carré

 

Sommaire de cette page

>>> Aire du carré

>>> Couronne de même aire

>>> Trois carrés concentriques et mêmes aires

>>> Carré dans le carré

 

 

 

 

AIRE du CARRÉ

& variations autour des aires

 

L'aire du carré est simple à calculer. Mais, sauriez-vous construire trois carrés concentriques tels que les couronnes découpées soient de même aire que le carré central?

Et, calculer l'aire d'un carré construit en oblique dans un carré plus grand?

 

 

 

Aire du carré

Sur ce carré pavé de dalles carrées, la quantité de dalles est égale à 25.

 

En fait, 5 rangées de 5 dalles, soit 5 x 5 = 25 dalles.

 

L'aire du carré es égale au carré de la mesure de son côté.

 

 

Ne pas confondre avec le périmètre (le tour du carré) qui vaut 4a.

Aire de ce carré: 5 x 5 = 25

Son périmètre:    4 x 5 = 20

 

Le triangle AOB est isocèle: OA = OB = r, rayon, du cercle circonscrit.

 

Il est aussi rectangle (l'angle AOB est droit). Le théorème de Pythagore s'écrit:

 

Notez que:    si r  = 1, alors a = .

 

Aire du cercle circonscrit:

 

Il peut paraître surprenant que l'aire du cercle soit plus de 1,5 fois celle du carré. Pour mieux apprécier la surface occupée par les quatre segments (bleus), retournons-les dans le carré.  Cette forme rose occupe une aire de:

 

 

Sur la figure, a = AB = 6 unités et OH = 3 unités.

 

 L'aire de la forme rose vaut

moins de la moitié de celle du carré.

 

 

 

Couronne de même aire

Problème

 

Deux carrés A et B, concentriques de côté a et b.

Nous souhaitons que la couronne découpée par le carré A dans le carré B soit de même aire que le carré central.

 

Calculs

 

 

 

Aire bleue  = aire rose  a = rb

 

La couronne bleue a la même aire que le carré rose central si le rayon de son cercle circonscrit (la demi-diagonale du carré bleu) est égale au côté du carré rose.

 

 

Vérification de la formule (exercice)

L'épaisseur de la couronne est égale à .

L'aire de la couronne vaut quatre fois les carrés des angles et quatre fois les rectangles latéraux.

L'aire  de la couronne est bien égale à 1.

 

Construction

Dessin à la règle et au compas: après avoir dessiné le carré, ouvrir le compas à la taille du côté du carré (a) et dessiner un cercle de centre O; prolonger les diagonales du carré; les intersections avec le cercle sont les sommets du carré recherché.

 

Calcul de l'aire de la couronne

 

 

Trois carrés concentriques

avec couronnes de même aire que le carré central

 

Vous pouvez itérer (recommencer sans fin) cette construction avec le nouveau carré (bleu), pour former une couronne de même aire.

 

Calcul:

 

Segment AB en vert

 

Dessin de cette figure à la règle et au compas

 

*      Carré de côté 1;

*      Diagonale OA  de longueur 1;

*      Dessin du deuxième carré;

*      Compas ouvert selon AB;

*      Report de cette mesure sur OA; et

*      Dessin du troisième carré.

Voir Construction géométrique des nombres

 

 

 Carré dans le carré – Deux cas

CAS 1) – Coordonnées de sommets

 

Un plus petit carré (jaune) est dessiné dans un grand carré (bleu de côté a) tel que chacun de ses sommets est à égale distance des sommets du grand, définie par la valeur de x et y.

 

Calcul via l'extérieur

Aire de la couronne bleue

B = 4 (C + R + T)

    = 4 (x² + x(a – 2x) + ½ (y – x) (a – x – y)
    = …

    = 2x (a – x) + 2y (a – y)

Attention à prendre y – x, valeur positive, ou la valeur absolue de la différence.

 

Aire du carré jaune

J = a² – 2x (a – x) – 2y (a – y)

 

Vérification

J = 100 – 2.2.8 – 2.3.7

    = 100 – 32 – 42 = 26

 

 

 

Calcul via l'intérieur

Aire du carré jaune

J = (a – 2y)² – 2 (y – x) (a – x – y)

   = …

   = a² – 2x (a – x) – 2y (a – y)

Le développement des calculs est à peu près le même.

 

 

 

CAS 2) – Les quatre obliques

 

Un carré ABCD (bleu) de côté a.

Les quatre obliques telles que AA' avec BA' = x, variable, forment un carré EFGH (jaune).

Quelle est la longueur c de son côté?

Et par la même l'aire du carré jaune.

 

Numérique

Ici: a = 10 et x = 3

Les mesures donnent:

      h = 2,9 et c = 6,8

 

 

 

Calcul avec Trigonométrie  avec a = 10 et x = 3

Angle A  = angle CBB'

A = 0,29 rad

Calcul de h

h = a sin(A)

h = 2,873…

Avec Pythagore

Et résolution de l'équation

c² + 2hc + (2h² – a²) = 0 

c = 6, 704…

Voir Trigonométrie

 

 

Calcul formel avec Pythagore et Thalès

Avec les triangles semblables (Thalès)

                 BFA' et BGC:

Dans le triangle rectangle BCG

a² = h² + (h + c)² = 2h² + 2hc + c²

Calcul de h (équation du second degré)

2h² + 2hc + (c² – a²) = 0 

Racine

Côté du carré jaune

Solution en c de cette équation

Calcul numérique

c = 6,704…  et h = 2,873…

Graphe de cette fonction c = f(x)

 

 

Comparaison avec la droite (diagonale descendante)

 

 

 

 

Suite

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