NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Construction

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Carré – Propriétés

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Sommaire de cette page

>>> Rectangle – Solution la plus simple

>>> Sécantes orthogonales – Propriétés

>>> Carré par quatre points – Méthode 1

>>> Rectangle et carré par quatre points – Méthode 2

>>> Carré par quatre points – Méthode 1

 

 

 

 

RECTANGLES et CARRÉS

Construction

 

Construire un carré passant par quatre points.

Plus exactement: construire quatre droites passant par quatre points quelconques de sorte que ces droites délimitent un carré.

Solutions uniques ou finies pour

3 points

Cercle

1 solution

4

Carré

6 solutions

5

Rectangle

4 ?

 

 

Rectangle – Solution la plus simple

 

 

But

Construire un rectangle passant par les points A, B, C et D.

 

Construction

Une droite quelconque AE passant par A.

Perpendiculaire cette droite passant par B.

Perpendiculaire à cette droite passant par C.

Perpendiculaire à cette droite passant par D.

 

 

 

Commentaires

Diverses situations sont possibles comme celle montrée sur la figure du centre.

Il existe donc une infinité de solutions.

Elle est unique pour cinq points en prenant le point A comme départ.

 

 

 

Configurations possibles

Le dessin du bas montre quatre possibilités selon que la première droite passe par A, B, C ou D.

 

 

 

Sécantes orthogonales – Propriété

 

Théorème

Dans un carré deux sécantes perpendiculaires découpent des segments de même longueur.

 

 Les segments bleus ont même longueur quelle que soit la position du point de croisement.

 

Conséquence: il est toujours possible de construire un carré passant par les extrémités de deux segments perpendiculaires (donc sécants) de même longueur. Il en existe une infinité.

 

Voir Démonstration

 

Carré par quatre points – Méthode 1

But

Construire un carré passant par les points A, B, C et D.

 

Construction

Segment DB.

Segment CE perpendiculaire à DB et avec CE  = DB. Par B, C, D, E passent une infinité de carré.

Il faut sélectionner celui qui passe par A.

 

Suite de la construction

Droite AE.

Perpendiculaire en D à AE.

Perpendiculaire en C à la droite en D.

Perpendiculaire en B à la droite en C.

 

 

 

 

Rectangle et Carré par quatre points – Méthode 2

 

But

Construire un rectangle passant par les points A, B, C et D.

 

Construction

Cercles de diamètres AB, BC, CD et DA.

Point M quelconque (infinité de rectangles).

Droite MB; intersection N.

Droite NC; intersection P.

Droite PD; intersection Q.

Droite QA.

MNPQ est un des rectangles cherché.

 

Commentaire

Dans le demi-cercle AMB, l'angle en M est un angle droit. Idem pour les autres.

  

 

But

Construire un carré passant par les points A, B, C et D.

 

Construction

E et F milieux de BC et AD.

Cercles (E, BE) et (F, AF). Deux sommets du carré se trouvent sur ces cercles.

Perpendiculaires en E et F à BC et AD. Intersections G et H (les milieux des arcs BHC et AGD. Les deux autres sommets sont sur la droite GF.

Droite GH et intersections avec les cercles en I et J.

Droites IB, IC, JA et JD qui délimitent le carré cherché.

 

 

Commentaire

L'angle BIH vaut la moitié de l'angle BEH, soit 45 °.

La droite IH est la bissectrice de l'angle BIC. C'est une diagonale du carré.

  

   

Note: il existe huit variantes. Selon leurs dispositions, les points A, B,  C ou D peuvent se retrouver à l'extérieur des côtes du carré.

  

 

 

Carré par quatre points – Méthode 3

 

But

Construire un carré passant par les points A, B, C et D.

 

Construction

Segment (vecteur) CA reporté en DD' et en DE après rotation de 90°.

Droite BE.

Perpendiculaires passant par les autres points.

 

Commentaire

Selon le choix du report du vecteur, il existe six solutions …

Sauf, si parmi les quatre points l'un est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres.

 

Explication (figure du bas)

Cette méthode est une reprise de la méthode n°1 utilisant la propriété des segments sécants.

En rouge, les deux segments classiques: perpendiculaires et de même longueur.

Le reste est une affaire de translation.

   

 

 

 

 

 

 

 

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Sites

*      Square from Four Points, One on Each Side – Cut-The-Knot

*      To Construct a Square with Edges on Any Four Points – Kirk T. McDonald

*      On The Square – Paul Kunkel – Avec interactivité

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