NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Types de TRIANGLES

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Géométrie

 

Types

Rectangle

Isocèle

Équilatéral (1/2)

Quelconque

 

Équilatéral (2/2)

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle à hauteur presque entière

>>> Théorème de Viviani

>>>  Point de Fermat

>>>  Parallélogramme

 

 

 

 

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL (2/2)

 

Propriétés générales en première partie

Propriétés spécifiques en deuxième partie

 

 

 

Triangles à hauteur presque entière

Hauteur

 

Cette valeur est presque entière lorsque racine de 3 sur 2 est une valeur presque entière

 

Exemple

 

 

 

 

 

 

Théorème de Viviani

 

Théorème

Dans un triangle équilatéral, comme pour tout polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés est égale à la longueur de la hauteur.

 

 

PMA+ PMB + PMC = CH = AB

 

Démonstration

 

Somme des aires de triangles:

 

AABC =AAPB + ABPC + ACPA

 

½ (a.h) = ½ (a.h1 + a.h2 + a.h3)

 

h = h1 + h2 + h3

Propriété remarquable qui se démontre très simplement avec le calcul des aires.

Voir Polygone / Distance

 

 

 

 

Point de Fermat d'un triangle quelconque

Un triangle quelconque ABC.

Les trois triangles équilatéraux posés sur chacun des côtés.

Les trois droites montrées se coupent en un point unique F, le point de Fermat.

 

Le point F est tel que la somme des distances d'un point quelconque intérieur aux côtés du triangle quelconque est minimum.

 

Si à un sommet, le triangle présente un angle de 120° ou plus, le point F coïncide avec ce sommet.

 

Défi posé en 1629 par Fermat à Torricelli. Ce point se nomme aussi point de Steiner ou point de Torricelli. C'est le premier centre isogonique du triangle.

 

 

 

Parallélogramme

Un parallélogramme en jaune. Deux triangles équilatéraux en bleu sur les côtés.

Le triangle en rouge est équilatéral.

 

Les trois petits triangles sur les bords sont égaux. Ce qui explique la propriété.

 

 

 

 

 

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Voir

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*    Égalités des triangles

*    Jeux

*    Polygones

*    Résolution du triangle quelconque

*    Triangle de Pythagore

*    Types de triangles

Sites

*    Théorème de Viviani – Wikipédia

*    First Fermat Point – Wolfram MathWorld

*    The Fermat Point and Generalizations – Cut-The-Knot -  Alexander Bogomolny

*    Encyclopedia of triangle centers – Clark Kimberling's

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/TrgequiP.htm