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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Types de TRIANGLES

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Géométrie

 

Types

Rectangle

Isocèle

Équilatéral (1/2)

Quelconque

 

Équilatéral (2/2)

 

Sommaire de cette page

>>> Bissectrices – Théorème de Steiner-Lehmus

>>> Triangle à hauteur presque entière

>>> Théorème de Viviani

>>>  Point de Fermat

>>>  Parallélogramme

>>> Cercle circonscrit et tangente

 

 

 

 

 

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL (2/2)

 

Propriétés générales en première partie

Propriétés spécifiques en deuxième partie

 

 

 

Bissectrices – Théorème de Steiner-Lehmus

 

Théorème

Tout triangle ayant deux bissectrices d’égale longueur est isocèle.

 

Historique

En 1840, C.-L. Lehmus demande au géomètre suisse J. Steiner la démonstration de cette propriété. Il a fallu plus d’un siècle pour simplifier la démonstration compliquée de Steiner.

La plus simple, sans doute, est celle citée par Coxeter et Greitzer (Redécouvrons la géométrie)

 

Démonstration

On va montrer le lemme suivant : au plus petit angle correspond la bissectrice intérieure la plus longue.

Alors :
Si
 alors BE > CF.
Si
 alors BE > CF.

Or, BE = CF, c’est que et le triangle ABC avec deux angles égaux est isocèle.

 

Les points bleus sur le même cercle

On trace FCG, un angle égal à

BCFG (points bleus) sont cocycliques car les angles égaux FBG et FCG interceptent le même arc FG.

 

Démonstration du lemme

Or, si dans un cercle, deux cordes sous-tendent des arcs correspondants à des angles inscrits égaux, au plus petit angle correspond la plus grande corde. En effet, la corde la plus courte est la plus éloignée du centre du cercle ; elle correspond donc à un angle au centre plus petit et donc à un angle inscrit (sa moitié) plus petit.
Conséquence : CF < BG < BE.

Donc :  au plus petit angle correspond la bissectrice intérieure la plus longue.

 

 

 

 

Triangles à hauteur presque entière

Hauteur

 

Cette valeur est presque entière lorsque racine de 3 sur 2 est une valeur presque entière

 

Exemple

 

 

 

 

 

 

Théorème de Viviani

 

Théorème

Dans un triangle équilatéral, comme pour tout polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés est égale à la longueur de la hauteur.

 

 

PMA+ PMB + PMC = CH = AB

 

Démonstration

 

Somme des aires de triangles:

 

AABC =AAPB + ABPC + ACPA

 

½ (a.h) = ½ (a.h1 + a.h2 + a.h3)

 

h = h1 + h2 + h3

Propriété remarquable qui se démontre très simplement avec le calcul des aires.

Voir Polygone / Distance

 

 

 

 

Point de Fermat d'un triangle quelconque

Un triangle quelconque ABC.

Les trois triangles équilatéraux posés sur chacun des côtés.

Les trois droites montrées se coupent en un point unique F, le point de Fermat.

 

Le point F est tel que la somme des distances d'un point quelconque intérieur aux côtés du triangle quelconque est minimum.

 

Si à un sommet, le triangle présente un angle de 120° ou plus, le point F coïncide avec ce sommet.

 

Défi posé en 1629 par Fermat à Torricelli. Ce point se nomme aussi point de Steiner ou point de Torricelli. C'est le premier centre isogonique du triangle.

 

 

 

Parallélogramme

Un parallélogramme en jaune. Deux triangles équilatéraux en bleu sur les côtés.

Le triangle en rouge est équilatéral.

 

Les trois petits triangles sur les bords sont égaux. Ce qui explique la propriété.

 

 

 

Cercle circonscrit et tangente

Un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle. Une tangente quelconque.

 

Théorème

La somme des distances des sommets à la tangente est égale à trois fois celle du centre et à deux fois celle de la médiane du triangle.

 

AA' + BB' + CC' = 3 OO' = 2 BD

 

Démonstration

Elle repose sur le fait que D est le milieu de AC; O celui de BE et  D celui de OE.

Pour le dernier cas, on montre facilement que le quadrilatère AOCE est un losange; les diagonales se coupent en leur milieu.

La médiane BD mesure 3/2 du rayon R = OB. (les médianes se coupent en O, lequel est situé  au deux tiers de la longueur de la médiane.

 

2DD' = AA' + CC'

2OO' = EE' + BB'

2DD' = EE' + OO'

 

AA' + BB' + CC' = 2DD' + 2OO' – EE'

= 2DD' + 2OO' – (2DD' – OO')

= 3 OO' = 3 R = 3 x 2/3 BD = 2 BD

 

 

 

 

 

Retour

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*    Triangle de Pythagore

*    Types de triangles

Sites

*    Théorème de Viviani – Wikipédia

*    First Fermat Point – Wolfram MathWorld

*    The Fermat Point and Generalizations – Cut-The-Knot -  Alexander Bogomolny

*    Encyclopedia of triangle centers – Clark Kimberling's

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/TrgequiP.htm