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PUISSANCES

 

Débutants

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Puissances de 2

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

 

Puissances des nombres

 

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Valeurs

Derniers chiffres

Chiffres

666 dans les puissances de 2

 

Sommaire de cette page

>>> Les chiffres des puissances de 2 en puissances

>>> Parité des chiffres

>>> Chiffres des puissances de 2: somme et produit

 

 

 

Chiffres des PUISSANCES de 2

Voir Apparition des chiffres dans les puissances de 2

 

Les chiffres des puissances de 2 en puissances de 6 à 15

Voir Brève 637

 

 

Parité des chiffres

 

Puissance de 2 jusqu'à 50 avec identification des chiffres pairs et des chiffres impairs

Exemple: k = 10; n = 1024; 3 chiffres pairs et 1 seul impair qui sont (0, 2, 4) et (1).

En jaune, les seules puissances de 2 avec chiffres pairs (sûr jusqu'à k = 50 000)

 

k

n = 2k

# P

# I

Pairs

Impairs

1

 2

 1

 0

2

 

2

 4

 1

 0

4

 

3

 8

 1

 0

8

 

4

 16

 1

 1

6

1

5

 32

 1

 1

2

3

6

 64

 2

 0

6, 4

 

7

 128

 2

 1

2, 8

1

8

 256

 2

 1

2, 6

5

9

 512

 1

 2

2

5, 1

10

 1024

 3

 1

0, 2, 4

1

11

 2048

 4

 0

2, 0, 4, 8

 

12

 4096

 3

 1

4, 0, 6

9

13

 8192

 2

 2

8, 2

1, 9

14

 16384

 3

 2

6, 8, 4

1, 3

15

 32768

 3

 2

2, 6, 8

3, 7

16

 65536

 2

 3

6, 6

5, 5, 3

17

 131072

 2

 4

0, 2

1, 3, 1, 7

18

 262144

 5

 1

2, 6, 2, 4, 4

1

19

 524288

 5

 1

2, 4, 2, 8, 8

5

20

 1048576

 4

 3

0, 4, 8, 6

1, 5, 7

21

 2097152

 3

 4

2, 0, 2

9, 7, 1, 5

22

 4194304

 4

 3

4, 4, 0, 4

1, 9, 3

23

 8388608

 6

 1

8, 8, 8, 6, 0, 8

3

24

 16777216

 3

 5

6, 2, 6

1, 7, 7, 7, 1

25

 33554432

 3

 5

4, 4, 2

3, 3, 5, 5, 3

26

 67108864

 6

 2

6, 0, 8, 8, 6, 4

7, 1

27

 134217728

 4

 5

4, 2, 2, 8

1, 3, 1, 7, 7

28

 268435456

 6

 3

2, 6, 8, 4, 4, 6

3, 5, 5

29

 536870912

 4

 5

6, 8, 0, 2

5, 3, 7, 9, 1

30

 1073741824

 5

 5

0, 4, 8, 2, 4

1, 7, 3, 7, 1

31

 2147483648

 7

 3

2, 4, 4, 8, 6, 4, 8

1, 7, 3

32

 4294967296

 6

 4

4, 2, 4, 6, 2, 6

, 9, 9, 7, 9

33

 8589934592

 4

 6

8, 8, 4, 2

5, 9, 9, 3, 5, 9

34

 17179869184

 4

 7

8, 6, 8, 4

1, 7, 1, 7, 9, 9, 1

35

 34359738368

 4

 7

4, 8, 6, 8

3, 3, 5, 9, 7, 3, 3

36

 68719476736

 5

 6

6, 8, 4, 6, 6

7, 1, 9, 7, 7, 3

37

 137438953472

 4

 8

4, 8, 4, 2

1, 3, 7, 3, 9, 5, 3, 7

38

 274877906944

 7

 5

2, 4, 8, 0, 6, 4, 4

7, 7, 7, 9, 9

39

 549755813888

 5

 7

4, 8, 8, 8, 8

5, 9, 7, 5, 5, 1, 3

40

 1099511627776

 4

 9

0, 6, 2, 6

1, 9, 9, 5, 1, 1, 7, 7, 7

41

 2199023255552

 5

 8

2, 0, 2, 2, 2

1, 9, 9, 3, 5, 5, 5, 5

42

 4398046511104

 7

 6

4, 8, 0, 4, 6, 0, 4

3, 9, 5, 1, 1, 1

43

 8796093022208

 9

 4

8, 6, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 8

7, 9, 9, 3

44

 17592186044416

 8

 6

2, 8, 6, 0, 4, 4, 4, 6

1, 7, 5, 9, 1, 1

45

 35184372088832

 8

 6

8, 4, 2, 0, 8, 8, 8, 2

3, 5, 1, 3, 7, 3

46

 70368744177664

 8

 6

0, 6, 8, 4, 4, 6, 6, 4

7, 3, 7, 1, 7, 7

47

 140737488355328

 7

 8

4, 0, 4, 8, 8, 2, 8

1, 7, 3, 7, 3, 5, 5, 3

48

 281474976710656

 8

 7

2, 8, 4, 4, 6, 0, 6, 6

1, 7, 9, 7, 7, 1, 5

49

 562949953421312

 6

 9

6, 2, 4, 4, 2, 2

5, 9, 9, 9, 5, 3, 1, 3, 1

50

 1125899906842624

 10

 6

2, 8, 0, 6, 8, 4, 2, 6, 2, 4

1, 1, 5, 9, 9, 9

  

 

Record plus de chiffres pairs que de chiffres impairs

[écart, k, n, #P, #I, chiffres pairs, chiffres impairs]

 

1, 1, 2, 1, 0, [2], []

2, 6, 64, 2, 0, [6, 4], []

4, 11, 2048, 4, 0, [2, 0, 4, 8], []

5, 23, 8388608, 6, 1, [8, 8, 8, 6, 0, 8], [3]

6, 66, 73786976294838206464, 13, 7, [8, 6, 6, 2, 4, 8, 8, 2, 0, 6, 4, 6, 4], [7, 3, 7, 9, 7, 9, 3]

10, 71, 2361183241434822606848, 16, 6, [2, 6, 8, 2, 4, 4, 4, 8, 2, 2, 6, 0, 6, 8, 4, 8], [3, 1, 1, 3, 1, 3]

Record plus de chiffres impairs que de chiffres pairs

 

 

-1, 9, 512, 1, 2, [2], [5, 1]

-2, 17, 131072, 2, 4, [0, 2], [1, 3, 1, 7]

-3, 34, 17179869184, 4, 7, [8, 6, 8, 4], [1, 7, 1, 7, 9, 9, 1]

-4, 37, 137438953472, 4, 8, [4, 8, 4, 2], [1, 3, 7, 3, 9, 5, 3, 7]

-5, 40, 1099511627776, 4, 9, [0, 6, 2, 6], [1, 9, 9, 5, 1, 1, 7, 7, 7]

-7, 75, 37778931862957161709568, 8, 15, [8, 8, 6, 2, 6, 0, 6, 8], [3, 7, 7, 7, 9, 3, 1, 9, 5, 7, 1, 1, 7, 9, 5]

-9, 76, 75557863725914323419136, 7, 16, [8, 6, 2, 4, 2, 4, 6], [7, 5, 5, 5, 7, 3, 7, 5, 9, 1, 3, 3, 1, 9, 1, 3]

 

PAIR / PREMIER

Cas où le nombre avec les chiffres pairs est premier (= 2, seule possibilité).

 

2, [2], 2        n , chiffres pair, nombre avec les chiffres pairs

32, [2], 2

512, [2], 2

131072, [0, 2], 2

IMPAIR / PREMIER

Cas où le nombre avec les chiffres impairs est premier.

 

Exemple:

8 192 => 19 est premier

 

En rose les cas ou le nombre avec les impairs ne comporte pas plus de deux chiffres différents. Aucun autre jusqu'à la puissance 500.

 

 

 

 

 

32, [3], 3

256, [5], 5

8192, [1, 9], 19

16384, [1, 3], 13

32768, [3, 7], 37

524288, [5], 5

1048576, [1, 5, 7], 157

4194304, [1, 9, 3], 193

8388608, [3], 3

67108864, [7, 1], 71

134217728, [1, 3, 1, 7, 7], 13177

536870912, [5, 3, 7, 9, 1], 53791

2147483648, [1, 7, 3], 173

8589934592, [5, 9, 9, 3, 5, 9], 599359

68719476736, [7, 1, 9, 7, 7, 3], 719773

549755813888, [5, 9, 7, 5, 5, 1, 3], 5975513

1099511627776, [1, 9, 9, 5, 1, 1, 7, 7, 7], 199511777

4398046511104, [3, 9, 5, 1, 1, 1], 395111

8796093022208, [7, 9, 9, 3], 7993

4611686018427387904, [1, 1, 1, 7, 3, 7, 9], 1117379

4722366482869645213696, [7, 3, 9, 5, 1, 3, 9], 7395139

9444732965739290427392, [9, 7, 3, 9, 5, 7, 3, 9, 9, 7, 3, 9], 973957399739

18889465931478580854784, [1, 9, 5, 9, 3, 1, 7, 5, 5, 7], 1959317557

151115727451828646838272, [1, 5, 1, 1, 1, 5, 7, 7, 5, 1, 3, 7], 151115775137

1208925819614629174706176, [1, 9, 5, 1, 9, 1, 9, 1, 7, 7, 1, 7], 195191917717

4835703278458516698824704, [3, 5, 7, 3, 7, 5, 5, 1, 9, 7], 3573755197

 

 

IMPAIR / PREMIER

Le nombre premier impair commence par trois chiffres identiques.

 

262 = 4611686018427387904 => 1117379

2118 = 332306998946228968225951765070086144 => 333999959517571

 

Cas suivant pour 2^824 et le nombre commence par 11177131…

 

 

 

Chiffres des puissances de 2 

(S = Somme; P = Produit)

Voir Nombre 2016 / Nombre 86

 

Note: les valeurs indiquées sont quasi-certaines, mais non prouvées. La probabilté de trouver des valeurs nettement supérieures à celles indiquées est très, très faible.

 

Puissance de 2 pannumériques (qui contiennent tous les chiffres)

 

251 = 2251799813685248              Plus petite avec tous les chiffres de 1 à 9

268 = 295147905179352825856   Plus petite avec tous les chiffres de 0 à 9

2169 = 748288838313422294120286634350736906063837462003712 à partir de 169, toutes les puissances de 2 sont pannumériques (au moins une fois tous les chiffres).

 

Plus grande puissance sans le chiffre k

[0/86, 1/91, 2/168, 3/153, 4/107, 5/71, 6/93, 7/71, 8/78, 9/108]

 

Exemple: après la puissance 86, toutes les puissances de 2 contiennent un 0.

 

Plus grandes puissances sans les chiffre k et h

Pour k = h, on retrouve les valeurs indiquées ci-dessus.

Au-delà des valeurs indiquées, la puissance de 2 comporte au moins un chiffre k ou un chiffre h.

 

241 = 2 199 023 255 552:  dernière puissance de 2 sans (4, 6, 7, et 8).

271 = 2 361 183 241 434 822 606 848: dernière puissance de 2 sans (5, 7 et 9)
et aussi sans 5 et sans 9.

 

Voir Pi Pannumérique / Carrés et cubes pannumériques

 

Zéros dans les puissance de 2

Exposant, valeur de la puissance de 2, quantité de 0 record

 

10, 1024, 1

42, 4398046511104, 2

43, 8796093022208, 3

79, 604462909807314587353088, 4

88, 309485009821345068724781056, 5

100, 1267650600228229401496703205376, 6

 

 

Présence de deux mêmes chiffres consécutifs

0 => 253 = 9 007 199 254 740 992

1 => 240 = 1 099 511 627 776

2 => 243 = 8 796 093 022 208

3 => 225 = 33 554 432

4 => 218 = 262 144

5 => 216 = 65 536

6 => 246 = 70 368 744 177 664

7 => 224 = 16 777 216

8 => 219 = 524 288

9 => 233 = 8 589 934 592

Voir idem pour trois chiffres consécutifs

 

 

 

 

Liste des exposants des puissances de 2 occasionnant k chiffres identiques de suites

 

2 => [53, 40, 43, 63, 18, 16, 46, 24, 19, 33]  Cette liste reprend les exposants vus ci-dessus

3 => [242, 42, 43, 83, 44, 41, 157, 24, 39, 50]
4 => [377, 313, 314, 219, 192, 41, 220, 181, 180, 421]

5 => [1491, 485, 314, 221, 315, 973, 220, 317, 316, 422]

6 => [1492, 1841, 2354, 2270, 3396, 973, 2269, 972, 971, 2187]

 

 

 

 

 

 

Suite

*    P2 – Cycle de répétition des derniers chiffres

*    P2 – Table des valeurs

*    P3 et 9 à étages

*    Puissance des nombres – Autres pages

Autour des puissances de 2

*    Nombres de Mersenne

*    Nombres de Fermat

*    Apparition des chiffres dans les puissances de 2

*    Plus petite puissances pannumériques des nombres

Voir

*    PuissancesIndex

*    Puissances de 2 et nombre 142857

*    Puissances et exposants

Site

*    OEIS A068994 - Powers of 2 with all even digits

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