NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

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Sommaire de cette page

>>> Notation scientifique

>>> Notation ingénieur

>>> Autres notations

>>> Anglais

 

 

 

 

 

Notation SCIENTIFIQUE

Notation INGÉNIEUR

Virgule flottante

 

Les diverses notations des nombres décimaux (nombres à virgule). Utilisation des puissances de dix.

 

 

 

 

Notation scientifique (Scientific notation)

 

*    Comment comparer des nombres tels que:

123 456 789

0,123 456 789

0,000 000 012 345 678 9

 

*    En normalisant les nombres comme suit:

*  une seul chiffre devant la virgule, et

*  une puissance de dix pour signifier la grandeur.

 

 

1,23456789 108

1,23456789 10-1

1,23456789 10-8

 

Le nombre 123456789 est rendu "flottant" par la valeur de la puissance de 10.

 

*    En notation scientifique, le nombre est composé:

*       d'un signe;

*       des chiffres significatifs appelés mantisse et parfois significande; et

*       d'un exposant.

 

 

Dans 1,23 104 = (+1) x 1,23 x 104

*      +1 est le signe (souvent implicite)

*      123 est la mantisse

*      et 4   est l'exposant

*      0,23 est la partie fractionnaire

*      10 est la base (de numération)

 

Ainsi avec  une mantisse de 123, la virgule est implicitement derrière le 1. La valeur exacte est spécifiée par l'exposant.
Avec 4, on a 1,23 x 104  =  12 300.

 

*    Notation que nous retrouvons sur les calculatrices.

*    Ici, nous avons introduit un grand nombre en le tapant comme d'habitude.

En appuyant sur la touche "F-E", la calculatrice bascule en affichage en mode scientifique.

 

*    Pour entrer un nombre directement dans ce mode, actionner le bouton Exp. Si vous entrer un nombre avec une virgule non conforme, un appui sur "F-E" le recadre.
123,e+3 deviendra 1,23e+5.


Sur votre ordinateur la calculatrice se trouve en cliquant la figure ronde Windows en bas à gauche, puis choisir Tous les programmes  / Accessoires.

 

 

*    En pratique:

*  Mettre la virgule après le premier chiffe;

*  Supprimer les zéros à droite, sauf s'ils expriment jusqu'où s'étend la précision de la grandeur décrite;

*  Nous avons désormais la mantisse du nombre;

*  Pour finir, indiquer la puissance de 10 par laquelle il faut multiplier la mantisse pour égaler le nombre.

 

 

Vitesse de la lumière:
300 000 km/s              = 3 105 km/s
300 000 000 m/s         = 3 108  m/s
30 000 000 000  cm/s = 3 1010 cm/s

 

La puissance de dix est égale à la quantité de "0".

 

Masse d'un grain de poussière:
0,000 000 000 753 kg = 7,53 10-10 kg.

 

La puissance de dix indique de combien de chiffres il faut décaler la virgule.

Voir Constantes

 

 Mantisse et Mantisse !

 

Mantisse est un mot allemand qui signifie: surplus de poids

*      Autrefois et à l'origine: partie fractionnaire  d'un nombre (= le nombre moins sa partie entière);

*      Avec les logarithmes positifs, c'est la partie fractionnaire, et pour les négatifs, c'est le complément à 1 de la partie fractionnaire; et

*      Avec la notation scientifique, il s'agit de tous les chiffres du nombre: l'entier, et la partie fractionnaire (en fait, tous les chiffres significatifs).

Voir Logarithme: caractéristique et mantisse

 

Exemples

M = mantisse; E = exposant; C = caractéristique

 

Ambigüité: pour éviter le même mot pour deux usages contradictoires, la norme américaine IEEE 754 préconise le terme significand pour remplacer mantissa, utilisé pour les nombres, tout en conservant mantissa pour les logarithmes.

En français, on trouve parfois ce mot significande, pris comme raccourci de "chiffres significatifs", pour désigner la mantisse. En français, comme en allemand, cet usage plus logique tend à se répandre.

 

Voir Définition de mantisse dans le Wiktionnaire / Mantisse – Wikipédia

 

 

Notation ingénieur (Engineering notation)

 

*    Même principe, mais utilisation des blocs de trois chiffres.

*  La mantisse prend une valeur décimale de 1 (inclus) à 1000 (non inclus). Soit un maximum de trois chiffres avant la virgule.

*  L'exposant est un entier multiple de 3.

 

 

   123 456 789 = 123,456 789 106

– 2222,55        = – 2,22255 103

   0,000012      = 12 10-6

 

La notation ingénieur est en rapport avec l'introduction des préfixes comme kilo; méga, giga … pour désigner les grands et les petits nombres.

Voir Blocs de trois

 

 

Autres notations

 

*    Voici un florilège des divers types de notations qu'il est possible de rencontrer.

 

*    Sans ambiguïté possible, le signe multiplier (x) et omis avant la puissance de dix. Ainsi: 1,23 x 105 devient 1,23 105.

*    Avec E ou e  pour désigner la puissance de dix, il n'y a pas d'espace ente la mantisse et cette lettre: 1,23e5

*    La notation "machine à écrire" se rencontre souvent lors d'envois de courriels pour éviter les exposants dont on n'est pas sûr qu'ils soient restitués à l'arrivée.

 

Voir Calculs avec les puissances

 

 

English corner

 

*    Scientific notation is the way that scientists easily handle very large numbers or very small numbers. For example, instead of writing 0.0000000012, we write 1.2 x 10-9.

*    Scientists have developed a shorter method to express very large numbers. Scientific notation is based on powers of the base number 10.

*    The number 123,000,000,000 in scientific notation is written as: 1.23 x 1011.

*  The first number 1.23 is called the coefficient. It must be greater than or equal to 1 and less than 10.

*  The second number is called the base. The base number 10 is always written in exponent form. In the number 1.23 x 1011 the number 11 is referred to as the exponent or power of ten.

*    Example:123.456 107

*    123.456: Coefficient or significand or digit number;

*    0.456:     Mantissa: fraction part of the coefficient
                (part after the separator);

*    107:          Base number or power of ten;

*       7:           Exponent.

 

 

 

 

 

Suite

*         Notation fixe ou flottante

*         Nombres en lettres

Voir

*         Arrondis

*         Conversion hexadécimale et autres

*         Inventaire des nombres

*         Nom de nombres

*         Décomposition des nombres

*         Théorie des nombres

*         Calcul mental

*         Géométrie

Sites

*           IEEE 754 Norme sur l'arithmétique à virgule flottante

*           La représentation en virgule flottante  - Par Jean-Michel JOLION de l'INSA

*           Virgule flottante - Le jargon français

*           Cours sur la virgule flottante de Alain Guyot (pour ceux qui veulent approfondir)

*           Représentation d'un nombre en machine, erreurs d'arrondis – Université de Paris

*           Floating-point arithmetic - en interactif par Bill Venners

*           Floating-Point Number Tutorial

*           The IEEE standard for floating point arithmetic

*           Bibliography of material on floating-point arithmetic

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