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BRÈVES de MATHS – Page 27

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

520. Année 2020 et palindromes
Cette date constitue un palindrome en l'écrivant à l'européenne comme à l'américaine. Rare. Certains chercherons le raffinement avec le 2 février 2020 à 02 h 02 minutes 20 secondes et 20 centièmes: 02 02 2020 02 02 20 20
Extraordinaire, du fait que 2020 est bissextile: le 2 février est le 33^e jour de l'année et il reste 333 jours pour finir l'année.
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521. Journée internationale des Maths
C'est le 14 mars, car, chez les Américains on écrit la date comme ceci: 3/14, ce qui rappelle le fameux nombre Pi = 3,14159 … L'IDM (International Day of Mathematics) a été fixé par l'UNESCO en novembre 2019. Il y a plus de trente ans, c'est Larry Shaw, physicien américain qui a associé cette date à la constante Pi. Note: Albert Einstein est né le 14 mars 1879 à Ulm. Le 14 mars 2018 mourrait Stephen Hawking.		Many mathematicians throughout history have tried to move beyond mere approximation in an effort to nail down the exact numeric equivalence of pi, but the solution remains a mystery. De nombreux mathématiciens au cours de l'histoire ont tenté de dépasser la simple approximation dans le but de déterminer l'équivalence numérique exacte de pi, mais la solution reste un mystère.
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Pour en savoir plus	>>> Constante Pi >>> Einstein >>> Hawking / Trous noirs	>>> Actualités 2020 >>> Bagage anglais indispensable pour le bac et pour le business

522. Carré tronqué à restituer
Comment obtenir un carré à partir d'un développement tronqué. Les exemples aideront à comprendre la manière de s'y prendre. Cas où a est un carré 4m² – 4m = ? 4m² – 4m + b² = (ax – b)² = ax² – 2axb + b² 4m² – 4m = (2m – 1)² – 1		Cas où a n'est pas un carré 5n² – 3n = ? 25n² – 15n + b² = (ax – b)² = ax² – 2axb + b²
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523. Nombres consécutifs
Théorème La somme de plus de deux nombres consécutifs n'est jamais un nombre premier. Si k, la quantité de nombres, est impaire, la somme est divisible par k. Ex avec k = 3: 12 + 13 + 14 = 39 = 3 x 13 Si k est pair, la somme est divisible par k/2. Ex avec k = 6: 2+3+4+5+6+7 = 27 = 3 x 9		Démonstration La somme de k nombres à partir de n est égale k fois le nombre n et des suppléments qui représentent la somme de k nombres entiers: Ex: 10 + 11 + 12 + 13 = 4 x 10 + (0 + 1 + 2 + 3) = 46 Formellement: Si k est impair, k-1 est pair est (k-1)/2 est un entier (a). Si k est pair, k/2 est un entier (b). Dans les deux cas, la somme est le produit de deux facteurs, il est composé à condition que k > 2.
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Pour en savoir plus	>>> Somme de nombres consécutifs		>>> Nombre composé

524. Somme de produits d'inverses
Propriété La somme des inverses des produits de deux nombres consécutifs est simplement égale au nombre divisé par son successeur. Exemple pour n = 4 Astuce du procédé par télescopage Avec l'exemple numérique Chaque terme négatif est annulé par le terme suivant. Phénomène de cascade.
Brèves associées	>>> Somme des entiers >>> Somme de fractions – Calcul		>>> Brèves Opérations – Index
Pour en savoir plus	>>> Somme des inverses des nombres triangulaires			>>> PGCD >>> Nombre 0,8

525. FORT BOYARD – Septembre 2020

Devinette

Dans ce restaurant, plat et boisson coûtent 11€.

Le plat coûte 10 euros de plus que la boisson.

Combien coûte la boisson: 0,50€, 1€ ou 2€.

Réponse faite durant le jeu

C'est 1 €. La candidate a reçu des litres de liquide slime* sur la tête, synonyme de mauvaise réponse.

*Pâte gluante et élastique

Piège

Ce qui est d'un côté, l'est le l'autre.

Ce qui est plus, l'est en moins.

Il faut partager le 1 euro en deux.

La réponse est 0,50 euro.

Pas convaincu !

Pourtant avec Boisson = 0,50 et Plat = 10,50, on a bien une différence de 10 et un total de 11.

Illustration

Petite équation pour confirmation

Coût total:	P + B	= 11
Comparaison:	P	= B + 10
On ajoute les deux:	2P + B	= B + 21
Soustraction de B: Division par 2:	2P P	= 21 = 10,5

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526. Pile ou face
Énigme Vous lancez une pièce de 1 euro trois fois. Quelle est la probabilité de tomber sur deux faces, au moins ? If you flip a coin 3 times, what is the probability of flipping at least 2 Heads ? Observations Certains vont dire qu'à chaque jet, on a 1 chance sur 2 d'avoir face (comme d'avoir pile). Pour en avoir 2, il suffit que deux jets soient bons. J'ajoute les chances: 1/2 + 1/2 = 1/4 = 25%. Ce n'est pas la bonne réponse ! Beaucoup imagine malgré tout que c'est moins de 50%. Réponse Le mieux pour s'en convaincre est de recenser les possibilités. L'illustration monte qu'il y a 8 cas possibles et, en rouge, 4 cas avec au moins 2 faces; le dernier en comportant 3. Ce dernier cas est inattendu. Il ne faut pas l'oublier. Dénombrement Supposons que nous lancions 3 pièces en une fois, ce qui revient au même que 3 lancers successifs. Nous sommes dans le cas d'une combinaison de 2 parmi 3 à ajouter à une combinaison de 3 parmi 3. La somme vaut 3 + 1 = 4 La totalité des cas est 2^3 = 8 (2 cas avec la première, et pour chaque cas, 2 cas pour la deuxième, puis encore à chaque cas, 2 cas pour la troisième: 2 x 2 x 2 = 8 Probabilité = cas favorables / tous les cas = 4/8 = 1/2 = 50%			Cas possibles lors du lancer de trois pièces Huit combinaisons dont 3 avec deux faces et 1 avec 3 faces. Total: 4 sur 8 = 50%
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527. Diagonales de l'octogone
TROIS CONSTANTES Dans le cercle, PI Dans le pentagone, le nombre d'or Dans l'octogone, le nombre d'argent (diamètre du cercle inscrit)
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528. Construire une fraction
Formulation Dans le triangle DGE, application du théorème de Thalès: Application On se propose de construire une longueur égale à 5,8. Le dénominateur est choisi pour faire u + v, sachant que u et v sont les multiplicateurs de deux nombres au numérateur.
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529. Motifs avec retournement

Motif: n + k = R(n x k)

Nombre qui multiplié par k et retourné donne le même nombre qu'en ajoutant k.

Avec k = 2, 5 ou 15, on obtient des motifs itératifs. Seul cas sans 0, avec k = 2.

Avec k = 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14,15, 16, 17, 19, 20 … pas de motif du tout.

Un motif itératif

k = 2	+	x
47	49	94
497	499	994
4997	4999	9994
49…97	49…99	9…994

k = 5	+	x
26	31	130
386	391	1930
3986	3991	199930
39…986	39…91	19…9930

Plusieurs motifs itératifs

k = 15	+	x
228	243	3420
624	639	9360
2568	2583	38520
25968	25983	389520
216408	216423	3246120
259968	259983	3899520
2160408	2160423	32406120
2599968	2599983	38999520
6081204	6081219	91218060

Un seul motif

k = 3	24	27	72
k = 8	455	463	3640
k = 9	9	18	81
k = 11	110	121	1210
k = 18	17595	17613	316710
k = 21	600	621	12600

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530. Racine de n – Construction
Tout nombre est somme de quatre carrés. Prenons le nombre 15: 15 = 1² + 1² + 2² + 3² = a² + b² + c² + d² = u² + v² avec u² = a² + b² et v² = c² + d². Construction Disposer les quatre nombres (a, b, c et d) sur les axes comme indiqué. Reporter les longueurs des diagonales bleues (u et v) sur les axes (arcs verts). Le segment (rose) qui joint les intersections avec les axes est la racine de n (ici n = 15) Justification
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531. Les trois tuyaux - Énigme
Problème On dispose de trois tuyaux de débit constant pour remplir la piscine. Avec les deux premiers, utilisés simultanément, il faut le même temps que pour la remplir avec le 3^e seul. Le 2^e tuyau la remplit en 5 heures de moins que le premier et en 4 heures de plus que le 3^e. Quelle est la durée de remplissage pour chaque tuyau seul ?			Relations t = t2 = 10 heures t1 = 15 h et t3 = 6 h.
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532. Grille 8x8 et 3 points
Sur une grille de 8 x 8 points, disposés régulièrement, on souhaite dessiner les droites qui passent par trois points, mais uniquement trois points. Le dénombrement n'est pas simple, mais il se trouve qu'il y a exactement 100 telles droites.
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533. Nombres premiers et 30
On note n# la primorielle de n, qui est le produit des nombres premiers inférieurs à n ou égal à n. Tous les nombres plus grands que n# sont évidemment de la forme n#. k + i pour i prenant toutes les valeurs inférieures à n#. Certaines valeurs de i conduisent à des nombres composés facilement reconnaissables.		Avec 6#, par exemple, on a 6# = 2 x 3 x 5 = 30. Or, tout nombre est de la forme 30k + i avec i = {0, 1, 2, 3…, 29}. Tous ceux avec i divisible par 2, 3 ou 5 sont composés. Pour qu'un nombre soit premier, il ne reste que i = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Ce sont d'ailleurs les nombres i tels que PGCD (1, 30) = 1; autrement dit: i est premier avec 30. Bilan: tous les nombres premiers sont de la forme 30k + i avec i = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Mais tous les nombres de cette forme ne sont pas premiers.
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534. Somme de carrés en PA
Comment calculer la somme suivante d'une manière générale ? S = 5² + 11² + 17² + 23² = 964 Somme de carrés en progression arithmétique (PA). Notations et exemple Le premier terme: F = 5 (comme First) Le dernier: L = 23 = F + (n – 1) r La quantité de termes: n = 4 La raison de la progression: r = 6		Formule Calcul numérique L = F + (n – 1) r = 5 + 3x6 = 23 S = 5 x 23 x 4 + 1/6 (3x4x7) x 6² S = 460 + 504 = 964
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535. Somme des cubes en PA
Comment calculer la somme suivante d'une manière générale ? S = 5^3 + 11^3 + 17^3 + 23^3 = 18 536 Somme de cubes en progression arithmétique (PA). Exemple F = 5 L = 23 = F + (n-1) r n = 4 r = 6		Formule Calcul numérique L = F + (n – 1) r = 5 + 3x6 = 23 T = 1/2 4 (5+23) = 56 S = 6 x 56² + 56 x 5 x (5 – 6) S = 18 816 – 280 = 18 536
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536. Divisibilité par 137
Divisibilité par 11 On connait le procédé pour tester si un nombre est divisible par 11. La somme alternée des chiffres doit être divisible par 11 (nulle). Exemples 121 => 1 – 2 + 1 = 0 135 795 => 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 5 = 0 244 442 => 2 – 4 + 4 – 4 + 4 – 2 = 0 Généralisation On généralise à d'autres cas, en prenant des tranches de 2, 3, 4 … chiffres. C'est le cas pour 137 avec des tranches de quatre chiffres.		Divisibilité par 137 Pour 137, comme pour 73, on sépare le nombre en tranches de quatre chiffres. La somme alternée doit être divisible par 137. Exemples
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537. Nombre 12345679

Ce nombre (tous les chiffres sauf 8) est le nombre de Lewis Carroll.

Il divise les nombres ayant neuf chiffres répétés (repdigits).

On le retrouve dans la division par 81:

1	× 9	× 12 345 679	= 111 111 111
2	9	12 345 679	222 222 222
3	9	12 345 679	333 333 333
4	9	12 345 679	444 444 444
5	9	12 345 679	555 555 555
6	9	12 345 679	666 666 666
7	9	12 345 679	777 777 777
8	9	12 345 679	888 888 888
9	9	12 345 679	999 999 999

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>>> Pépites numériques

>>> Repdigit

>>> Pannumérique (tous les chiffres)

538. Puzzle du Quatre 4
Principe Ce puzzle est assez ancien et a fait réfléchir beaucoup de monde. Écrire un maximum de nombres successifs en utilisant seulement quatre fois le chiffre 4.			Les onze premiers nombres
Cas du nombre 100
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Pour en savoir plus	>>> Jeu du Quatre 4			>>> Nombre 4

539. Nombre 42
Le nombre décimal 42 s'écrit avec un "10" répété trois fois en binaire. Autrement-dit: il est la somme des premières puissances impaires de 2 et le double des premières puissances de 4. Les nombres en 1010 … en binaire (10 répété k fois) sont accessibles par la formule indiquée. Dans un roman, le nombre 42 est la réponse de l'ordinateur qui ne connait pas la réponse à la question sur la vie … >>>		Nombres en 1010 … binaire ou 222 … en base 4 Formule pour tous ces nombres (k répétitions) Liste de ces nombres 0, 2, 10, 42, 170, 682, 2730, 10922, 43690, …
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