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Géométrie

 

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Chèvre et cercle

Fourmi sur cylindre

Chèvre et silo

Équation avec  cercle

 

Sommaire de cette page

>>> La chèvre et la grange

>>> Un autre exemple

>>> Cas où la loge est longue

>>> Calculs pas à pas

 

>>> Clôture minimale

 

 

 

 

Chèvre dans un pré avec grange carrée

Mouton, cheval … dans le champ, 

 

La chèvre est dans un pré, attachée à une longe (une corde ou une chaine). Sans autre indication, elle peut brouter l'herbe sur une superficie égale à l'aire du disque. Et quand la corde subit des contraintes ? Objet de nombreuses énigmes, rarement simples à résoudre.

Ici, nous abordons le cas de la grange de forme carrée, avec la longe qui s'enroule autour de celle-ci.

Anglais: Goat problem / The goat and the barn / Tethered goat problem /

The Mystery of the Grazing Goat

 

La chèvre et la grange (simple: niveau CM2 ou 6e)

La chèvre est en laisse. La corde mesure 8 m. Cette corde est fixée au coin d'une grange carrée de 4 m de côté.

 

Le cas où elle est attachée ailleurs sur la grange se traite de la même façon.

 

Quelle est l'aire broutée par la chèvre?

 

La figure montre qu'elle a la liberté de brouter:

*       sur les trois quarts d'un grand cercle de 8 m de rayon (zone verte);

*       puis, du fait que la corde  est entravée, sur deux quarts d'un petit cercles de 4 m de coté (zones bleues).

 

Ainsi, la somme est égale à l'aire intérieure à la courbe fermée (qui ressemble à une cardioïde), à l'exclusion du carré.

 

 

Évidemment la chèvre ne peut pas traverser la grange! Et, la grange est rigide …

Avec la longue longe de 8 m (vert)
Voir Aire du disque

Avec la longue courte de 4 m (bleu)

Surface de liberté de la chèvre

 

 

Un autre exemple

La longe est attachée au milieu de la grange (point vert).

L'aire est égale à la somme des aires de trois demi-cercles de rayon 11, 8 et 2 (zones bleues).

 

Lorsqu'on débute, et même ensuite, il est toujours préférable de vérifier l'ordre de grandeur du résultat:

En gros, la zone rose représente le quart de la surface du rectangle.
En effet, en calculant l'aire du rectangle, on trouve une différence de: 121,12.

 

 

Remarquez la mise en commun de ½ de Pi (on dit: mise en facteur). Le calcul développé serait:

 

 

Bilan

Avec une longe est plus courte, les quarts de cercle seront plus petits, mais c'est la même méthode de calcul.

Avec une longe plus longue, la chèvre peut atteindre les mêmes zones en passant d'un côté ou de l'autre de la grange. La solution est plus complexe, objet du chapitre suivant.

 

 

La chèvre et la grange (complexe: niveau 4e)

Problème

Cette fois la longue est plus longue que deux fois le côté de la grange.

 

Les quarts de disque en bleu se chevauchent. Il s'agit de retirer cette part qui doublonne.

 

Dit autrement: quelle est l'aire de la partie bleue ?

 

Note: le calcul précédent donnerait 93 Pi  = 292,17 m², alors que le calcul qui suit va montrer que la valeur exacte est 288, 53 m². Écart de 3,63 m² (1,25%). Erreur qui croit avec R. Un longe de 12 m engendrerait un erreur de 5%.

 

 

Démarche

Figure et notations pour calculer l'aire de la zone colorée.

 

On note bien que les centres des cercles sont en A et B et non pas en O. D'où la complication.

 

On calcule successivement x, y puis u. Ce qui permet de calculer l'aire AT du triangle OMC.

Avec l'angle alpha, on évalue l'aire AS du segment de cercle en bleu.

L'aire colorée est égale à :
             A = 2(AT + AS) – a²
.

Notez que la droite OM est un axe de symétrie et que OQMP est un carré de côté y.

 

 

 

Calculs  et suivi numérique avec a = 4 et R = 6

Le segment AB est la diagonale du carré

5,65…

La hauteur du triangle ABM (Th. de Pythagore)

5,29…

Segment OM: demi-diagonale + hauteur calculée

8,12…

Carré OPMQ

5,74…

Aire du triangle OMC

28,71…

Segment AP

1,74 …

Angle alpha

1,2762… radian

73,1255… °

Aire du segment d'angle alpha

5,75…

Aire zone colorée

52,91…

Zone chèvre (avec la zone verte)

288,532188…

Pour information

Valeur numérique avec radicaux

Et la formule litérale:

 

Bilan

Inutile de prendre la formule littérale complète, le mieux consiste à faire les calculs numériques pas à pas avec une calculette ou encore avec un tableur.

 

 

Longueur minimale de la clôture

Une grange (ocre) de 6 m x 4 m.

La chèvre est attachée au piquet vert avec une longe de 15 m.

Quelle est la longueur minimale des clôtures à réaliser (en rouge) pour que la chèvre reste sur le terrain de 13 m x 16 m.

 

La partie verticale à gauche mesure évidemment 6 m.

La clôture en haut comprend deux parties: celle interceptée avec un rayon de 5 m (x1), et celle interceptée avec un rayon de 9 m (x2).

 

Théorème de Pythagore dans T1.

x1² = 5² – 3²  = 25 – 9 = 16 => x1 = 4 

Théorème de Pythagore dans T2.

x2² = 9² – 7²  = 81 – 49 = 32 => x1 = 5,656… 

Longueur minimale de clôture:

L = 6 + 4 + 5,656 = 15,656.

 

 

 

 

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