NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

Débutants

Géométrie

Problème de la chèvre

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Jeux et énigmes

Chèvre en général

Chèvre et carré

Chèvre et cercle

Fourmi sur cylindre

Chèvre et silo

Équation avec  cercle

Les dix chèvres

Chèvre trigonométrique

Chèvre, chou et loup

 

Sommaire de cette page

 

>>> Cas simples

>>> Cas complexes

>>> Anglais

 

 

Voir Pensées & humour

 

Le problème de la chèvre dans un champ

Revue de toutes les énigmes

 

La chèvre est dans un champ, attachée à une longe (une corde). On se demande quelle est la superficie que la chèvre a la liberté de brouter.

Sans contrainte particulière, la chèvre peut naturellement accéder à toute la surface circulaire autour du pieu d'attache. Mais le champ peut être limité ou encombré d'une grange  ou …

Selon le type de contrainte, la solution du problème fait appel aux connaissances allant de la géométrie élémentaire jusqu'aux techniques d'intégration.

 

 

 

Cas simples

Chèvre attachée simplement à son pieu avec une longe de 10 m.

 

La surface accessible est le disque de rayon 10 m dont l'aire est:

 

>>>

 

Cette fois la longe est fixée sur le mur d'une grange de forme carrée.

 

En général, il s'agit d'un simple problème de géométrie abordable dès que l'on connait l'aire du disque (CM2).

 

Si la longueur de la longe est telle que la chèvre peut aborder l'arrière de la grange, le problème se complique car la chèvre peut aborder certaine zones en passant d'un côté ou de l'autre. Il faut alors éliminer les surfaces qui doublonnent. Le théorème de Pythagore est appelé en renfort.

 

>>>

Una autre type de problème demande à évaluer la longueur minimale d'une clôture (rouge) à protéger pour éviter que la chèvre n'aille brouter dans le terrain du voisin.

>>>

L'imagination peut conduire à poser la question pour toutes autre formes, notamment le triangle équilatéral.

 

 

Cas complexes

Le champ est de forme circulaire et la longe est attachée à un point quelconque de l'enclos.

 

La chèvre atteint une limite en forme de cercle tronqué. La surface accessible à la chèvre est l'intersection de deux disques, surface appelée lentille.

Le calcul de la surface est un problème de géométrie avancé, mais réalisable.

 

Cependant, l'énigme classique demande: quelle est la longueur de la corde pour que l'aire de la zone bleue soit égale à l'aire restante de la zone verte?

La mise en équation n'est pas très simple mais réalisable. Par contre l'équation est insoluble analytiquement.

Seules possibilités: approximations successives (dichotomie) ou par itérations (Newton) ou encore calcul intégral.

 

Zone verte = Zone bleue pour

>>>

Dans cette nouvelle situation, la longe est attachée à un silo à grain de forme cylindrique.

 

Lorsque la chèvre explore le bas du champ, la  corde s'enroule autour du silo et sa longueur diminue progressivement. L'extrémité balaie une sorte de spirale, en fait, une développante de cercle.

 

La résolution nécessite le calcul d'une intégrale.

>>>

La chèvre et la carotte.

 

Sera-t-elle capable d'atteindre la carotte ou le chou ou toute autre friandise?

Il s'agit de comparer la longueur de la longe à la distance entre la carotte et l'anneau d'attache (point vert), situé en hauteur.

>>>

 

Quelques autres énigmes mettant en scène une chèvre sont indiquées dans l'en-tête.

 

English corner

 

Ce problème est connu en anglais sous les noms suivants:

*       The goat problem (le problème de la chèvre)

*       The goat and the barn (la chèvre et la grange)

*       The tethered goat problem (le problème de la chèvre avec longe)

*       The bull-tethering problem (le problème du taureau attaché à une longe)

*       The mystery of the grazing goat (le mystère de la chèvre qui broute)

*       Problems about tethering and grazing (problèmes de longes et de zones broutées)

*       Goat eating a circular field (chèvre en train de manger dans un champ circulaire)

 

Longe, corde ou laisse: tether

Clôture: fence

Cabane, hangar, abri, étable: shed

Enclos: paddock

Pieu: pole

 

A farmer owns a circular field of grass (radius = r). He tethers a goat via a length of rope (R) to the circumference of the field. What ratio r/R must the farmer choose so that the goat can only eat half the area of grass?

Given a circular field of grass of diameter 10 m. A farmer ties a goat to a pole on the circumference. When the rope is taut, the goat path sweeps out an arc of a circle of radius R. The problem is to determine the value of R so that the area of the ground accessible to the goat is half of the circular field.

 

 

Merci à Jacques G. de Longueville pour sa contribution

 

 

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Suite

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*         Carré parfait

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*         La fourmi sur un cylindre

*         Les dix chèvres

*           Puits

*         Traversée de la rivière

DicoNombre

*         Nombre 1,158…

Site

*         La chèvre de Monsieur Poincaré – Serge Mehl

*         Goat Problem – Wikipedia

*         Goat Problem – Wolfram MathWorld

*         OEIS A133731 – Decimal expansion of goat tether length to graze half a unit field.

*         Grazing Animals – Ask Dr. Math

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http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Geometri/ChevreIn.htm