NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 11/01/2020

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths            

                                                                           

Géométrie

 

Débutants

Géométrie

Problème de la chèvre

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Jeux et énigmes

Chèvre en général

Chèvre et carré

Chèvre et cercle

Chèvre et rectangle

Fourmi sur cylindre

Chèvre et silo

Équation avec  cercle

Les dix chèvres

Chèvre trigonométrique

Chèvre, chou et loup

 

Sommaire de cette page

>>> Chèvre dans le rectangle – Présentation

>>> Résolution

>>> Le champ est donné, calcul de R

>>> Abaque

>>> Utilisation de GeoGebra

 

 

 

 

Le problème de la chèvre

dans un champ rectangulaire

 

La chèvre est dans un champ en forme de rectangle.

On se demande quelle est la longueur de la corde (longe) de sorte que la chèvre peut brouter exactement la moitié du champ.

 

 

 

Chèvre dans le rectangle – Présentation

Énigme

Le champ est de forme rectangulaire et la longe est attachée à un pieu situé au milieu de la largueur.

 

Quelle la longueur R de la corde pour que la chèvre soit en capacité de brouter exactement la moitié du champ ?

La figure annotée

 

Aire boutée =
Aire des deux triangles rectangles AR
+ Aire du secteur AS

= 2 x (jaune  + ocre)

 

Quelle est la valeur de L pour que la chèvre brouet la moitié du rectangle ?

Un exemple de résolution

On donne la largeur égale à 6, soit a = 3 et la longueur de la longe R = 5

On en déduit la longueur du troisième côté du triangle rectangle: b = 4.

Avec ces données, la longueur de la longe est 9,36,

alors la chèvre broute la moitié du champ.

Les surfaces en jaune sont égales.

 

 

Chèvre dans champ rectangulaire – Résolution

 

Littéral

Exemple numérique

Aire des deux triangles rectangles

a = 3 R = 5 => b = 4

AT = 12

Aire du secteur complet


                      = 36,87 °

 

Aire à brouter complète

Aire à brouter
       = 1/2 du champ

Formule finale

 

 

Le champ est donné, calcul de R

Solutions ?

 

Pas de solution analytique ! Impossible de calculer R en connaissant les dimensions du champ L et 2a.

Avec la condition donnée, moitié du champ, la longe doit être assez longue pour atteindre, en gros, la demi-longueur du champ.

 

La solution consiste à faire un abaque donnant L pour différentes valeurs de R et a. Ci-dessous un tableau suivi des courbes.

Tableaux de valeurs

 

La valeur 0 indique que ces cas sont impossibles.

 

En rouge, l'exemple numérique traité ci-dessus.

 

Abaque

 

 

Utilisation de GeoGebra

GDC: graphic display calculator

 

On peut aussi utiliser une calculette avec résolution graphique d'équations (GDC).

 

Cette fonction est aussi disponible avec GeoGebra en ligne.

 

Exemple de traitement avec l'exemple numérique de cette page  =>

 

 

 

Vérification graphique de la formule

Cas de a = 10 et R = 10 donnant les aires maximales. Alors L = 15,708.

D'ailleurs dans ce cas, on calcule bien:

 

Sur cette figure avec un contour dessiné à la main, les aires sont très voisines: 9,13 et 9,01; moyenne 9,07.

 

En prenant l'angle (38,24°) et l'ordonnée du point H (6,19), on calcule les deux aires par différences. Elles valent: 9,06514528… (évaluation numérique de la formule ci-contre)

 

Chaque aire colorée vaut:

 

Merci à Jacky P. pour l'idée de cette page

 

 

Retour

*         Chèvre et cercle

Suite

*        Chèvre et cercle

*         Chèvre et grange – Même type d'énigme

Voir

*         Carré

*         Carré parfait

*         Chèvre et cercle trigonométrique

*         Géométrieindex

*         Jeuxindex

*         La fourmi sur un cylindre

*         Les dix chèvres

*           Puits

*         Traversée de la rivière

Site

*         La chèvre de Monsieur Poincaré – Serge Mehl

*         Goat Problem – Wikipedia

*         Goat Problem – Wolfram MathWorld

*         OEIS A133731 – Decimal expansion of goat tether length to graze half a unit field.

*         Grazing Animals – Ask Dr. Math

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Geometri/ChevreRe.htm