NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

PARTITION

 

CARRÉS

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

 

Sommaire de cette page

>>> Devinette

>>> Chiffres répétés

 

 

 

 

 

 

 

CHIFFRES RÉPÉTÉS DANS LES CARRÉS

 

 

7744 = 88²   Seul carré de 4 chiffres ayant ses chiffres initiaux et finaux doublés.

1444 = 38²   Seul carré de 4 chiffres ayant trois chiffres identiques.

 

 

 

DEVINETTE

 

*           Devinez un carré à quatre chiffres ayant ses deux premiers chiffres et ses deux derniers chiffres répétés.
              N = abcd       avec a = b et c = d.

 

*           La démonstration est intéressante.

 

 

On développe

n

= 1000a + 100b + 10c + d

= 1000a + 100a + 10c + c

= 100 x 11a + 11c

= 11 (100a + c)

On constate que

n

est divisible par le nombre premier 11

Or n est un carré

n = u.u

= 11 (100a + c)

11 est l'un des facteurs premier de u

u

= 11k

Soit une nouvelle expression de n

n

= 11² k²

En égalant les deux formes de n

11 (100a + c)

= 11² k²

 

100a + c

= 11 k²

Exprimons le premier facteur autrement

99a + a + c

= 11 k²

Soit la valeur de a + c

a + c

= 11 k² - 99a

= 11(k² - 9a)

On constate que

a + c

est aussi divisible par 11

Il nous reste à explorer les diverses possibilités pour obtenir cette somme

 

 

D'abord a et c sont des chiffres

a + c

< 9 + 9 = 18

Ensuite c est le chiffre des unités d'un carré qui ne peut être que 1

c

= {1, 4, 5, 6, 9}

Explorons

 

 

c = 1; a = 10

 

pas possible

c = 4; a = 7

n = 7744

= 88² BON

c = 5; a = 6

n = 6655

= 81,5…²

c = 6; a = 5

n = 5566

= 74,6…²

c = 9; a = 2

n = 2299

= 47,9…²

Seule solution

7744

= 88²

= 8² x 11² = 26 x 112

 

1 Remarque

L'exploration peut être réduite en utilisant la propriété suivante: le carré d'un nombre impair produit une dizaine paire. Pour obtenir des chiffres unité et dizaine identiques, le carré doit être pair. Ce qui ramène l'exploration de c = {1, 4, 5, 6, 9} à seulement c = {4 et 6}.

Intérêt limité, mais beauté du recours à cette propriété.

 

 

 

CHIFFRES RÉPÉTÉS dans:

Carrés de 3 chiffres

 

n

n

121

144

225

441

484

676

11

12

15

21

22

26

 

 

 

Cubes de 3, 4 et 5 chiffres avec chiffres répétés

 

n

3n

343

1331

2744

3375

29791

7

11

14

15

31

Carrés de 4 chiffres

 

n

n

1156

1225

1444

1521

1681

2116

3136

3364

3844

3969

4225

4489

4624

5625

5776

5929

6561

6889

7225

7744

8281

8464

8836

34

35

38

39

41

46

56

58

62

63

65

67

68

75

76

77

81

83

85

88

91

92

94

Carrés de 5 chiffres

 

n

n

11881

12321

14161

14641

16641

17161

19321

19881

25281

25921

29241

44521

48841

52441

53361

57121

68121

73441

77841

84681

94864

109

111

119

121

129

131

139

141

159

161

171

211

221

229

231

239

261

271

279

291

308

 

 

 

 

 

  

Suite

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