NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Motifs avec Chiffres

 

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Chiffres

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Glossaire

Chiffres

 

 

INDEX

 

Motifs

 

Jeux

 

Somme

Carrément réversibles

Unités des puissances

Retournés

Puissances

 

Sommaire de cette page

 

>>> Nombres carrément réversibles

>>> Propriétés

 

>>> Permutables puissants - Table 1 à 9 999

>>>         "            Table 10 000 à 99 999

 

 

 

 

Puissances de nombres

à chiffres permutés

 

Nombres et leurs retournés qui offrent des propriétés remarquables.

*       Les carrément réversibles comme 12:

Le carré du nombre et de son retourné produisent deux nombres réversibles.

 

*       Les permutables puissants comme 125:

Un nombre et son retourné sont tous deux des puissances.

 

 

Nombres carrément réversibles

Un exemple typique

Propriété remarquable du nombre 12. Son carré retourné est égal à son retourné mis au carré:

 

Cas général

Un nombre est carrément réversible si le retourné du carré est égal au carré du retourné.

 

Jusqu'à 1000

Ce nombre n'est pas seul dans son cas; le nombre 13 prend la suite.

 

Ils sont sept couples pour n < 1000

 

Curiosité avec 12 puis 13 et 112 et 113.

 

Cas triviaux

*       nombres terminées par des 0; et

*       certains nombres palindromes.
 

20² = 400 => 4 et 2² = 4

 

11² = 121  => 121 et 11² = 121

Au-delà

Les 132 nombres auto-descriptifs jusqu'à 100 000.

Ils sont 336 jusqu'à un million y compris les doublons tels que 201 pour 102.

 

 

Voir programmation et élimination des doublons + tables

 

12, 13, 21, 31, 102, 103, 112, 113, 122, 201, 211, 221, 301, 311, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1101, 1102, 1103, 1112, 1113, 1121, 1122, 1201, 1202, 1211, 1212, 1301, 2001, 2011, 2012, 2021, 2022, 2101, 2102, 2111, 2121, 2201, 2202, 2211, 3001, 3011, 3101, 3111, 10002, 10003, 10011, 10012, 10013, 10021, 10022, 10031, 10102, 10103, 10111, 10112, 10113, 10121, 10122, 10202, 10211, 10212, 10221, 11001, 11002, 11003, 11012, 11013, 11021, 11022, 11031, 11101, 11102, 11103, 11112, 11113, 11121, 11122, 11201, 11202, 12001, 12002, 12011, 12012, 12101, 12102, 12111, 12201, 12202, 13001, 13011, 20001, 20011, 20012, 20021, 20022, 20101, 20111, 20112, 20121, 20122, 20201, 20211, 20221, 21001, 21002, 21011, 21021, 21101, 21102, 21111, 21201, 22001, 22002, 22011, 22101, 22102, 22111, 30001, 30011, 30101, 30111, 31001, 31011, 31101, 31111

Suite sans les doublons

 

Cas des nombre en 11…1n

 

Parmi les nombres auto-descriptifs, il existe des motifs itératifs dont 12 et 13 sont les premiers modèles.

 

Notez la curiosité quasi-pannumérique de 1113²

Anglais: Reversing digit and squaring/ reverse digit numbers

Voir Carré des retournés en général

Merci à Georges Vidiani et à Michel L. pour leurs contributions

 

Nombres carrément réversibles – Propriétés

 

Propriété – Vue intuitive

Le chiffre des unités, comme le premier chiffre sont toujours 1, 2 ou 3. En fait, les nombres ne contiennent que les chiffres (0, 1, 2, 3).

 

Un chiffre plus grand que 3 briserait la symétrie que l'on trouve par exemple avec 13. C'est le cas avec 14 dont le 4² induit une unité supplémentaire sur les  dizaines.

 

Vous pouvez créer votre propre motif en alignant des 1, 2, et des 0 intercalés. Vérifiez tout de même que les sommes successives dans la multiplication n'engendrent pas de retenues.

 

C'est la symétrie du développement du carré qui permet d'engendre des nombres carrément réversibles, à condition que les retenues ne viennent pas détruire la symétrie.

Cette propriété de symétrie ne se rencontre pas avec le cube ou les puissances supérieures.

 

Propriété – Démonstration

On distingue deux cas: n au carré engendre un nombre à trois chiffres ou quatre chiffres.

 

Trois chiffres pour le carré

On donne un exemple en mauve, puis la formalisation des quatre nombres.

En marron, une affirmation suivi d'une flèche indiquant la déduction. Ici, n² qui a trois chiffres est  compris entre 100 et 999 et sa racine est comprise entre 10 et 31,6. On exclut 10 dont le retourné est 0 et 11 dont le retourné est 11.

Restent trois valeurs possibles pour a que l'on passe en revue. On fait l'hypothèse que a est plus grand que b, car se sera l'inverse pour le retourné. On a le choix.

Deux seules possibilités; 21 et 31

 

Quatre chiffres pour le carré

Même présentation. Cette fois, on analyse l'unité des carrés (seules possibles: 0, 1, 4, 9, 6 et 5). Le 0 est exclu, car le retourné commencerait par 0.

Si m vaut 9, alors n² est compris entre 9 000 et 9 999 et n est compris entre 94,8 et 99,9 avec un 9 comme premier chiffre. Or, le chiffre a doit être égal à 3 pour terminer le carré de r² en 9.

Aucune possibilité avec 4 chiffres dans les carrés

et la démonstration est généralisable aux carrés en 4k chiffres.

 

Démonstration alternative (Un peu de maths modulaire)

Nous savons qu'avec un nombre pair de chiffres: n + r  est divisible par 11.

 

Propriété amusante sur les chiffres

 

 

Trois paires de nombres consécutifs

Nombres consécutifs dont les carrés sont formés des mêmes chiffres permutés.

 

 

 

Permutables puissants – Table de 1 à 9 999

 

On s'intéresse à tous les nombres dont la permutation des chiffres redonnent une puissance (comme 125 et 512). On note aussi les nombres se présentant sous plusieurs puissances (comme 16, 64, 81 …)

 

 

De  0 à 999                                     et de 1000 à 9999

   

 

Notez

*       Les trois permutations (169, 196, 961) parmi 6 sont des carrés.

*       Les couples  {144 et 441} et {169, 961} offrent également la permutation des chiffres des carrés.

*       Les racines carrés de 1089 et de son retourné 9801 sont dans un rapport 3 (33 et 99).

*       Le couple {1369, 1936} est à rapprocher du couple {169, 196} avec un 3 intercalaire. 

*       Le couple {256, 625} donnent les puissances quatrièmes de deux nombres consécutifs (44 et 54). 

Voir Nombre 1089 et magie

 

  

Valeurs pour 10 000 à 99 999

 

Table ordonnée par plus petite puissance dans chaque motif, puis par cette petite puissance dans l'ordre croissant. On passe d'un  motif au suivant en changeant de couleur. En rouge quelques motifs remarquables.
On a conservé les nombres multi-puissances (comme 14 641) à titre indicatif.

 



 

 

 

 

Suite

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DicoNombre

*    Nombre 1113

Sites

*      Reversal – Wolfram MathWorld

*      OEIS A066531EPRN

*      OEIS A062917 – Non-palindromic numbers n such that n is not divisible by 10 and n*R(n) is a square, where R(n) is the reversal of n

*      Reversing digits and squaring – Mathematics

*      Mathematical Puzzles: Can you find all two digit numbers such that, when reversed and then squared, the number equals the reverse of its square?

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