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Édition du: 02/08/2020

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de nombres

Types de Nombres – Diviseurs

Parfaits

Semi-parfaits (SP)

SP Primitifs

SP Primaire

Refactorisables

Pratiques

Abondant primitifs

Friables

Facteurs-Diviseurs

Intouchables

Lucas-Carmichael

Pierpont

Petits facteurs

 

 

 

Nombres FRIABLES ou LISSSES

 

Les nombres dont les facteurs sont inférieurs à k+1 sont des nombres k-friables.

 

Exemple: 30 = 2 x 3 x 5 est un 5-friable.

Notion utile en théorie des nombres, notamment en cryptographie. Inventée par Leonard Adleman, co-inventeur du code RSA.

Les 5-friables sont aussi appelés nombres réguliers ou nombres de Hamming.

 

Voir genèse en nombres sans grands facteurs.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres friables

>>> Liste

>>> Diagramme de Hasse des nombres réguliers

>>> Programmation

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

Anglais: Smooth numbers

 

Nombres friables ou lisses

haut

 

Entier strictement positif tel que tous ses facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à une borne k donnée.

 

10 800 = 24 x 33 x 52

est un 5-friable

Il est aussi 7-friable, etc.

 

Un ultrafriable ou ultralisse  est tel que ses diviseurs en pn sont inférieurs ou égaux à une borne k donnée.

 

10 800 = 24 x 33 x 52

est un 25-ultrafriable

 

 

Liste de nombre k-friables

haut

 

2-friables

 

Ce sont les puissances de 2

 

 

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592 …

 

Ils sont 7 jusqu'à 100, 10 jusqu'à 1000 et 14 jusqu'à 10 000.

 

 

 

3-friables

 

Nombres en 2p.3q

 

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972, 1024, 1152, 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2187, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888, 4096, 4374, 4608 …

 

Ils sont 20 jusqu'à 100 et 40 jusqu'à 1000 et 67 jusqu'à 10 000.

 

Seuls 1, 2, 3 et 6 sont 3-ultrafriables.

 

 

 

5-friables

ou

Nombres réguliers

ou

Nombres de Hamming

 

Nombres en 2p.3q.5r

 

Notez que p, q et r peuvent prendre la valeur 0.

 

Les nombres réguliers divisent les puissances de 60 (comme celles de 30)

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 100, 108, 120, 125, 128, 135, 144, 150, 160, 162, 180, 192, 200, 216, 225, 240, 243, 250, 256, 270, 288, 300, 320, 324, 360, 375, 384, 400, 405, 432, 450, 480, 486, 500, 512, 540, 576, 600, 625, 640, 648, 675, 720, 729, 750, 768, 800, 810, 864, 900, 960, 972, 1000, 1024, 1080, 1125, 1152, 1200, 1215, 1250, 1280, 1296, 1350, 1440, 1458, 1500, 1536, 1600, 1620, 1728, 1800, 1875, 1920, 1944, 2000, …

 

Ils sont 34 jusqu'à 100 et 86 jusqu'à 1000 et 175 jusqu'à 10 000.

 

Les 66 non-5-friables jusqu'à 100:

Ce sont les nombres premiers supérieurs à 5 et leurs multiples

7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 49, 51, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99.

 

Les 12 nombres 5-ultrafriables : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

 

 

 

Diagramme de Hasse des nombres réguliers jusqu'à 50: tous les multiples de 2, 3 et 5

 

 

 

 

7-friables

 

Nombres en 2p.3q.5r.7s

 

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98, 100, 105, 108, 112, 120, 125, 126, 128, 135, 140, 144, 147, 150, 160, 162, 168, 175, 180, 189, 192, 196, 200, 210, 216, 224, 225, 240, 243, 245, 250, 252, 256, 270, 280, 288, 294, 300, 315, 320, 324, 336, 343, 350, 360, 375, 378, 384, 392, 400, 405, 420, 432, 441, 448, 450, 480, 486, 490, 500, 504, 512, 525, 540, 560, 567, 576, 588, 600, 625, 630, 640, 648, 672, 675, 686, 700, 720, 729, 735, 750, 756, 768, 784, 800, 810, 840, 864, 875, 882, 896, 900, 945, 960, 972, 980, 1000, 1008, …

Ils sont 46 jusqu'à 100 et 141 jusqu'à 1000 et 338 jusqu'à 10 000.

 

Les 54 nombres non-7-friables jusqu'à 100

11, 13, 17, 19, 22, 23, 26, 29, 31, 33, 34, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 99.

 

Les 24 nombres 7-ultrafriables : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420.

 

 

 

11-friables

 

 

Notez que un nombre p-friable, avec p un nombre premier, le reste jusqu'au nombre q – 1, q étant le premier suivant

 

Le plus petit nombre non k-friables est le nombre premier suivant. Pour 11, c'est 13.

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 50, 54, 55, 56, 60, 63, 64, 66, 70, 72, 75, 77, 80, 81, 84, 88, 90, 96, 98, 99, 100 …

 

Ils sont 55 jusqu'à 100 et 192 jusqu'à 1000 et 522 jusqu'à 10 000.

 

Les 45 nombres non-7-friables jusqu'à 100

13, 17, 19, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 51, 52, 53, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 76, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97.

 

Les 96  nombres 11-ultrafriables:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 84, 88, 90, 99, 105, 110, 120, 126, 132, 140, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 220, 231, 252, 264, 280, 308, 315, 330, 360, 385, 396, 420, 440, 462, 495, 504, 616, 630, 660, 693, 770, 792, 840, 924, 990, 1155, 1260, 1320, 1386, 1540, 1848, 1980, 2310, 2520, 2772, 3080, 3465, 3960, 4620, 5544, 6930, 9240, 13860, 27720.

 

 

 

Programme Maple

haut

Commentaires

 

Réinitialisation et appel aux logiciels de théorie des nombres.

Déclaration d'un liste L qui contiendra les nombres k-friables. Ici k = 7.

Boucle d'analyse des entiers n.

Recherche des facteurs premiers en F, leur quantité en q et un indicateur T mis à un, supposant que le nombre analysé est un fiable.

Analyse des facteurs et  mise à 0 de T si un facteur dépasse k.

Si l'indicateur T est resté à un, le nombre est déclaré friable et placé dans la liste L.

En fin de programme, impression de L.

 

En bleu, le résultat du traitement.

Voir ProgrammationIndex

 

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*       OEIS A051037 – Nombres 5-friables

*       OEIS A002473 – Nombres 7-friables

*       Entier friable – Wikipédia

*       Regular numbers – Wikipedia

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