NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Premiers

NOMBRES PREMIERS

 

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Premiers

 

 

INDEX

 

Premiers

 

Nombres

Premiers

Presque Premiers

Probablement P.

Premiers équilibrés

Pythagore

Cubain (cuban)

Premiers bons

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres premiers de Pythagore

>>> Liste

 

 

 

Anglais: Cuban primes

 

 

 

Nombres premiers de Pythagore

ou nombre premier pythagoricien

Famille

Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers

 

… / Types de nombres premiers et cousins / Cubains

Définition

Nombres premiers impairs (soit, tous sauf 2) somme de deux carrés.

p  = x² + y²

(p > 2  et (x, y )

Exemples

Les plus petits nombres premiers de Pythagore:

  5 = 1² + 2²

13 = 2² + 3²

17 = 1² + 4²

29 = 2² + 5²

etc.

Propriétés

 

La somme des deux carrés est unique pour p.

 

Ils sont de la forme 4 n + 1 selon le théorème des deux carrés de Fermat

 

Le triplet de Pythagore primitif  associé est p² = a² + b²
avec la relation suivante:

p  = x² + y²

p² = (x² – y²)² + (2xy)²

 

Exemple avec 13 = 2² + 3²

                      =>13² = (3² – 2²)² + (2x2x3)² =  5² + 12²

 

Exemples

  5 = 1² + 2² = 4 x 1 + 1 et   5² = 3² + 4²

13 = 2² + 3² = 4 x 3 + 1 et 13² = 5² + 12²

17 = 1² + 4² = 4 x 4 + 1 et 17² = 15² + 8²

29 = 2² + 5² = 4 x 7 + 1 et 29² = 21² + 20²

etc.

Deux classes

Tous les premiers impairs appartiennent à deux classes:

*    Type 4k – 1 : jamais somme ou différence de carrés; sauf cas triviaux comme la différence de carrés de deux nombres consécutifs.

*    Type 4k + 1: ils sont tous somme unique de deux carrés.

Histoire

En fait, découverts par Diophante d'Alexandrie.

C'est Fermat qui découvrit leur congruence à 1 mod 4.

Anglais

Pythagorean primes

Voir

*  Nombres carrés

*  Nombres cubes

*  Place de ces nombres parmi les autres premiers

*  Triplets de Pythagore

*  Somme de deux carrés

 

 

 

 

Liste

 

Nombres premiers de Pythagore jusqu'à 5 000

 

5,  13,  17,  29,  37,  41,  53,  61,  73,  89,  97,  101,  109,  113,  137,  149,  157,  173,  181,  193,  197,  229,  233,  241,  257,  269,  277,  281,  293,  313,  317,  337,  349,  353,  373,  389,  397,  401,  409,  421,  433,  449,  457,  461,  509,  521,  541,  557,  569,  577,  593,  601,  613,  617,  641,  653,  661,  673,  677,  701,  709,  733,  757,  761,  769,  773,  797,  809,  821,  829,  853,  857,  877,  881,  929,  937,  941,  953,  977,  997, 1009, 1013, 1021, 1033, 1049, 1061, 1069, 1093, 1097, 1109, 1117, 1129, 1153, 1181, 1193, 1201, 1213, 1217, 1229, 1237, 1249, 1277, 1289, 1297, 1301, 1321, 1361, 1373, 1381, 1409, 1429, 1433, 1453, 1481, 1489, 1493, 1549, 1553, 1597, 1601, 1609, 1613, 1621, 1637, 1657, 1669, 1693, 1697, 1709, 1721, 1733, 1741, 1753, 1777, 1789, 1801, 1861, 1873, 1877, 1889, 1901, 1913, 1933, 1949, 1973, 1993, 1997, 2017, 2029, 2053, 2069, 2081, 2089, 2113, 2129, 2137, 2141, 2153, 2161, 2213, 2221, 2237, 2269, 2273, 2281, 2293, 2297, 2309, 2333, 2341, 2357, 2377, 2381, 2389, 2393, 2417, 2437, 2441, 2473, 2477, 2521, 2549, 2557, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2657, 2677, 2689, 2693, 2713, 2729, 2741, 2749, 2753, 2777, 2789, 2797, 2801, 2833, 2837, 2857, 2861, 2897, 2909, 2917, 2953, 2957, 2969, 3001, 3037, 3041, 3049, 3061, 3089, 3109, 3121, 3137, 3169, 3181, 3209, 3217, 3221, 3229, 3253, 3257, 3301, 3313, 3329, 3361, 3373, 3389, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3469, 3517, 3529, 3533, 3541, 3557, 3581, 3593, 3613, 3617, 3637, 3673, 3677, 3697, 3701, 3709, 3733, 3761, 3769, 3793, 3797, 3821, 3833, 3853, 3877, 3881, 3889, 3917, 3929, 3989, 4001, 4013, 4021, 4049, 4057, 4073, 4093, 4129, 4133, 4153, 4157, 4177, 4201, 4217, 4229, 4241, 4253, 4261, 4273, 4289, 4297, 4337, 4349, 4357, 4373, 4397, 4409, 4421, 4441, 4457, 4481, 4493, 4513, 4517, 4549, 4561, 4597, 4621, 4637, 4649, 4657, 4673, 4721, 4729, 4733, 4789, 4793, 4801, 4813, 4817, 4861, 4877, 4889, 4909, 4933, 4937, 4957, 4969, 4973, 4993 …

 

Nombres premiers de Pythagore et sommes des carrés jusqu'à 1000

 

P = x² + y²  & P² = a² + b²

P

x

y

a

b

5

1

2

3

4

13

2

3

5

12

17

1

4

15

8

29

2

5

21

20

37

1

6

35

12

41

4

5

9

40

53

2

7

45

28

61

5

6

11

60

73

3

8

55

48

89

5

8

39

80

97

4

9

65

72

101

1

10

99

20

109

3

10

91

60

113

7

8

15

112

137

4

11

105

88

149

7

10

51

140

157

6

11

85

132

173

2

13

165

52

181

9

10

19

180

193

7

12

95

168

197

1

14

195

28

229

2

15

221

60

233

8

13

105

208

241

4

15

209

120

257

1

16

255

32

269

10

13

69

260

277

9

14

115

252

281

5

16

231

160

293

2

17

285

68

313

12

13

25

312

317

11

14

75

308

337

9

16

175

288

349

5

18

299

180

353

8

17

225

272

373

7

18

275

252

389

10

17

189

340

397

6

19

325

228

401

1

20

399

40

409

3

20

391

120

421

14

15

29

420

433

12

17

145

408

449

7

20

351

280

457

4

21

425

168

461

10

19

261

380

509

5

22

459

220

521

11

20

279

440

541

10

21

341

420

557

14

19

165

532

569

13

20

231

520

577

1

24

575

48

593

8

23

465

368

601

5

24

551

240

613

17

18

35

612

617

16

19

105

608

641

4

25

609

200

653

13

22

315

572

661

6

25

589

300

673

12

23

385

552

677

1

26

675

52

701

5

26

651

260

709

15

22

259

660

733

2

27

725

108

757

9

26

595

468

761

19

20

39

760

769

12

25

481

600

773

17

22

195

748

797

11

26

555

572

809

5

28

759

280

821

14

25

429

700

829

10

27

629

540

853

18

23

205

828

857

4

29

825

232

877

6

29

805

348

881

16

25

369

800

929

20

23

129

920

937

19

24

215

912

941

10

29

741

580

953

13

28

615

728

977

4

31

945

248

997

6

31

925

372

 

 

 

 

 

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