NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Partitions

 

Débutants

Addition

Variations sur les carrés

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

PARTITION

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

 

 

Sommaire de cette page

>>> Faisabilité et calculs

>>> Nombres de 0 à 30

>>> Records

>>> Méthode pratique

>>> Exemple avec 100

>>> Exemple avec 60

>>> Impossibilité

>>> Bilan

 

 

 


 

 

DIFFÉRENCE des carrés

de deux nombres

 

On donne N.  L'exprimer sous la forme d'une différence de 2 carrés.

Pas toujours possible!

 

N = n² – m²    Valeurs de n et m ?

 

 

 

 

FAISABILITÉ ET CALCULS

 

Rappel

Deux nombres

 n et m

leur somme

s = n + m

Leur différence

e = n m

La différence de leur carré

 

N = n²

= (n + m) (n m)

N= n²

= s . e

 

Selon la valeur de e

 

e = 1 => s = N

N est la différence des carrés de

deux nombres consécutifs

dont la somme est N.

 

3² – 2² = 5

Notez que, de ce fait,  n² – m² = 1 est impossible (sauf 1² – 0²)

De même avec 2: si e = 1 la somme est égale à 2 ; impossible.

Et, si e = 2 la somme vaut 1: impossible

 

e > 1 => N est un nombre composé

N ne peut s'exprimer sous la forme

d'une différence de carrés de

deux nombres non consécutifs

que s'il est composé.

Voir conclusions plus précises en  Bilan

 

 

Calcul

N =

= (n + m) (n m)

N =

= s . e

n + m

= s

n – m

= e

2n

= s + e

n

= (s + e) / 2

m

= (s – e) / 2

 

 

 

 

Nombres de 0 à 30

 

De 0 à 10 toutes les possibilités s.e

En jaune pale les nombres différences de carrés, en jaune foncé, double possibilité.

 

 

 

 

 

Illustration: structure des différences de carrés donnant les nombres successifs

 

 

Record de quantité de présentations

Voir Tables

 

 

MÉTHODE PRATIQUE

 

Procédé

Soit un nombre

N

100

Un diviseur

e

2

Le quotient

s = N / e

50

Premier nombre

Ce nombre doit être entier

n = (s + e) / 2

52/2 = 26

Deuxième nombre

m = (s – e) / 2

48/2 = 24

Différence de carrés

N = n²

100 = 26² - 24²

 

Autre exemple

Soit un nombre

N

100

Un diviseur

e

5

Le quotient

s = N / e

20

Premier nombre

Ce nombre doit être entier

s + e doit être pair

n = (s + e) / 2

25/2 = 12,5

Cette décomposition n'est pas réalisable

 

 

 

 

 

EXEMPLE AVEC 100

 

Recherche des diviseurs et sommes paires

 

 

 

 

 

Somme

Paire

Diviseurs de 100

2

2

5

5

 

 

100 =

Produit de deux nombres

5 Possibilités:

1

 

100

 

101

NON

2

 

50

 

52

OUI

4

 

25

 

29

NON

5

 

20

 

25

NON

10

 

10

 

20

OUI

 

L'un des nombres est la moitié de la somme

52 / 2 = 26

L'autre est cette moitié moins le plus petit diviseur

26 - 2 = 24

 

Deux seules décomposition de 100

  

en différences de carrés

100 = 26² - 24²

100 = 10² - 

 

 

 

 

 

EXEMPLE AVEC 60

 

Recherche des diviseurs et sommes paires

Somme

Paire

Diviseurs de 60

2

2

3

5

60 =

Produit de deux nombres

6 Possibilités:

1

60

61

2

30

32

OUI

3

20

23

4

15

19

5

12

17

6

10

16

OUI

 

Deux seules décomposition de 60

en différences de carrés

60 = 16² - 14²

60 =   8² -  

 

 

 

 

 

IMPOSSIBILITÉ

 

Voyons les cas où la mise sous forme de différences de carrés est impossible

On a vu que

n = (s + e) / 2

doit être entier

Ou divisible par 2 , soit

(s + e)

pair

Obtenu si

s et e

sont pairs

ou si

s et e

sont impairs

Donc dans la cas où

e est pair s est impair

ça ne marche pas

Le plus simple

e = 2 et s = 2k+1

ça suffit

N

= 2 (2k + 1)

¹ ²m - ²n

 

Les nombres en

2 (2k + 1)

ne peuvent être exprimés sous la forme

d'une différence de deux carrés.

 

Les nombres en 2 (2k + 1)

 

Ce sont les nombres pairs qui divisé par 2 donnent un nombre impair (dits pairs-impairs).

Ce sont les nombres en progression arithmétique de raison 4 à partir de 2.

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 …

Voir la table des nombres de 1 à 100 

et leurs expressions en différences de carrés

 

 

 

BILAN

 

Tous les nombres peuvent être décomposés en différences de carrés

N   =   n² – m²   =   e . s

avec e = n – m et s = n + m

Sauf ceux de la forme

2 (2k + 1)

Ceux qui sont impairs donnent, en particulier deux nombres consécutifs:

N = { (N + 1) / 2 }² { (N 1) / 2 }²

 

 


 

Suite

*    Table des différences de carrés de 1 à 100

*    S'y retrouver

Voir

*    AdditionGlossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carrés magiques

*    Conjecture de Goldbach

*    Identités remarquables

*    Impairs

*    Machine des frères Carissan

*    Nombres consécutifs

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