NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 20/12/2023

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths

      

Partitions

 

Débutants

Addition

Variations sur les carrés

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

PARTITION

 

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

a² – b² = c² – d²

 

Sommaire de cette page

>>> Faisabilité et calculs

>>> Nombres de 0 à 30

>>> Records

>>> Cas d'un nombre unique

>>> Méthode pratique

 

>>> Exemple avec 100

>>> Exemple avec 60

>>> Impossibilité

>>> Bilan

>>> Chaines de triplets de Pythagore

 

 

 

 

 

 

DIFFÉRENCE des carrés

de deux nombres

 

On donne N.  L'exprimer sous la forme d'une différence de deux carrés.

Pas toujours possible!

 

N = n² – m²    Valeurs de n et m ?

Construction de chaines infinies de triplets de Pythagore.

 

 

Nombres doublement pairs (divisibles par 4)

Théorème

Tous les multiples de 4 (sauf 4) sont, au moins une fois, différence de deux carrés. Les autres nombres pairs ne sont jamais différence de deux carrés.

 

Il suffit de considérer un des produits de deux nombres pairs (a٠b)  et d'appliquer une identité remarquable:
(a – b) (a + b) = a² – b²

 

Exemple

 

Record de présentations

Voir Table / Brève 56-1110

 

 

 

FAISABILITÉ ET CALCULS

 

Rappel

Deux nombres

 n et m

leur somme

s = n + m

Leur différence

e = n m

La différence de leur carré

 

N = n²

= (n + m) (n m)

N= n²

= s . e

 

Selon la valeur de e

 

e = 1 => s = N

N est la différence des carrés de

deux nombres consécutifs

dont la somme est N.

 

3² – 2² = 5

Notez que, de ce fait,  n² – m² = 1 est impossible (sauf 1² – 0²)

De même avec 2: si e = 1 la somme est égale à 2 ; impossible.

Et, si e = 2 la somme vaut 1: impossible

 

e > 1 => N est un nombre composé

N ne peut s'exprimer sous la forme

d'une différence de carrés de

deux nombres non consécutifs

que s'il est composé.

Voir conclusions plus précises en  Bilan

 

 

Calcul

N =

= (n + m) (n m)

N =

= s . e

n + m

= s

n – m

= e

2n

= s + e

n

= (s + e) / 2

m

= (s – e) / 2

 

 

 

 

Nombres de 0 à 30

 

De 0 à 10 toutes les possibilités s.e

En jaune pale les nombres différences de carrés, en jaune foncé, double possibilité.

 

 

 

 

 

Illustration: structure des différences de carrés donnant les nombres successifs

 

 

Record de quantité de présentations

 

Liste: 3, 15, 45,  96, 192, 240, 480, 720, 960, 1440, 2880, 3360, 5040, 6720, 10080, 20160, 30240, 40320, 60480, 80640, 100800, 110880, 181440, 201600, 221760, 332640, 443520, 665280, 887040, …

 

Détails

Voir Tables / Brève 562

 

Cas d'un nombre unique

 

Toutes les différences jusqu'à n = 50

Exemple de lecture: 48 = 43 – 42 = 26 – 24

 

Record de quantité de différences pour un même nombre

 

Aucun k = 5 jusqu'à n = 10 000, a = k = h = 100.

Voir Table complète /  Table des différences de puissances à écart minimum

Dans le DicoNombre voir: Nombre 6 / Nombre 240 / Nombre 3 840

 

MÉTHODE PRATIQUE

 

Procédé

Soit un nombre

N

100

Un diviseur

e

2

Le quotient

s = N / e

50

Premier nombre

Ce nombre doit être entier

n = (s + e) / 2

52/2 = 26

Deuxième nombre

m = (s – e) / 2

48/2 = 24

Différence de carrés

N = n²

100 = 26² - 24²

 

Autre exemple

Soit un nombre

N

100

Un diviseur

e

5

Le quotient

s = N / e

20

Premier nombre

Ce nombre doit être entier

s + e doit être pair

n = (s + e) / 2

25/2 = 12,5

Cette décomposition n'est pas réalisable

 

 

 

 

 

EXEMPLE AVEC 100

 

Recherche des diviseurs et sommes paires

 

 

 

 

 

Somme

Paire

Diviseurs de 100

2

2

5

5

 

 

100 =

Produit de deux nombres

5 Possibilités:

1

 

100

 

101

NON

2

 

50

 

52

OUI

4

 

25

 

29

NON

5

 

20

 

25

NON

10

 

10

 

20

OUI

 

L'un des nombres est la moitié de la somme

52 / 2 = 26

L'autre est cette moitié moins le plus petit diviseur

26 - 2 = 24

 

Deux seules décomposition de 100

  

en différences de carrés

100 = 26² - 24²

100 = 10² - 

 

 

 

 

 

EXEMPLE AVEC 60

 

Recherche des diviseurs et sommes paires

Somme

Paire

Diviseurs de 60

2

2

3

5

60 =

Produit de deux nombres

6 Possibilités:

1

60

61

2

30

32

OUI

3

20

23

4

15

19

5

12

17

6

10

16

OUI

 

Deux seules décomposition de 60

en différences de carrés

60 = 16² - 14²

60 =   8² -  

 

 

 

 

 

IMPOSSIBILITÉ

 

Voyons les cas où la mise sous forme de différences de carrés est impossible

On a vu que

n = (s + e) / 2

doit être entier

Ou divisible par 2 , soit

(s + e)

pair

Obtenu si

s et e

sont pairs

ou si

s et e

sont impairs

Donc dans la cas où

e est pair s est impair

ça ne marche pas

Le plus simple

e = 2 et s = 2k+1

ça suffit

N

= 2 (2k + 1)

¹ m² - n²

 

Les nombres en

2 (2k + 1)

ne peuvent être exprimés sous la forme

d'une différence de deux carrés.

 

Les nombres en 2 (2k + 1)

 

Ce sont les nombres pairs qui divisé par 2 donnent un nombre impair (dits pairs-impairs).

Ce sont les nombres en progression arithmétique de raison 4 à partir de 2.

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 …

Voir la table des nombres de 1 à 100 

et leurs expressions en différences de carrés

 

 

 

BILAN

 

Tous les nombres peuvent être décomposés en différences de carrés

N   =   n² – m²   =   e . s

avec e = n – m et s = n + m

Sauf ceux de la forme

2 (2k + 1)

Ceux qui sont impairs donnent, en particulier deux nombres consécutifs:

N = { (N + 1) / 2 }² { (N 1) / 2 }²

 

 

 

Chaines de triplets de Pythagore

Prenons le nombre 3 et son carré

On continue avec 5 et son carré

Il est possible de poursuivre sans fin

    9 = 5 + 4 = 5² – 4²

  25 = 13 + 12 = 13² – 12²

169 = 85 + 4 = 85² – 84²

 

Il est possible de constituer une chaine infinie pour tout nombre impair.

 

Les premiers nombres  pour les premières chaines

[3, 5, 13, 85, 3613, 6526885]

[5, 13, 85, 3613, 6526885, 21300113901613]

[7, 25, 313, 48985, 1199765113, 719718163185951385]

[9, 41, 841, 353641, 62530978441, 1955061632394403395241]

[11, 61, 1861, 1731661, 1499324909461, 1123987592065117923655261]

[13, 85, 3613, 6526885, 21300113901613, 226847426110843688722000885]

[15, 113, 6385, 20384113, 207756031398385, 21581284291203366989290304113]

   Ex: 113² – 112² = 15²

 

Même liste mais avec les carrés

[3, 25, 169, 7225, 13053769, 42600227803225]

[5, 169, 7225, 13053769, 42600227803225, 453694852221687377444001769]

[7, 625, 97969, 2399530225, 1439436326371902769, 517994234419759747473589427583418225]

[9, 1681, 707281, 125061956881, 3910123264788806790481, 3822265986460669315287975024801628461448081]

[11, 3721, 3463321, 2998649818921, 2247975184130235847310521, 1263348107116341940414873643024196400115172978121]

[13, 7225, 13053769, 42600227803225, 453694852221687377444001769, 51459754733114686962148583993443846186613037940783225]

[15, 12769, 40768225, 415512062796769, 43162568582406733978580608225, 465751831657741214303598968917332180433794527992024716769]

 

 

 

 

 

Suite

*    Table des différences de carrés de 1 à 100

*    S'y retrouver

Voir

*    AdditionGlossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carrés magiques

*    Conjecture de Goldbach

*    Identités remarquables

*    Impairs

*    Machine des frères Carissan

*    Nombres consécutifs

*    Nombres consécutifs

*    Palindromes

*    Repdigit

*    Répétition de motifs

*    TABLESIndex

DicoNombre

*    Nombre 60

*    Nombre 111

*    Nombre 100

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm\Addition\P100a500\Difcartr.htm