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Sommaire de cette page

>>> Centre de gravité du demi-disque

>>> Calcul

>>> Expression des coordonnées

>>> Somme infinies ou intégrale

>>> Bilan: localisation du centre de gravité

 

 

 

 

 

Centre de gravité

Calcul pour formes complexes

 

Plus que la forme, c'est le calcul qui s'avère complexe. Il fait appel au principe d'équivalence et aux calculs de sommes infinies (intégration).

 

Nous allons aborder cela simplement, sans les bagages du calcul intégral.

 

 

 

Centre de gravité du demi-disque

*    Demi-disque

*    Quart de disque

 

4 / 3Pi = 0,4244…

 

Voici les coordonnées du centre de gravité du demi-cercle ou du quart de cercle. Comment les calculer?

Oui! Il faut dire disque lorsque le cercle est plein.

 

 

 

Calcul du centre de gravité du demi-disque

 

*    Nous partons d'un demi-disque homogène en plastique ou en métal, d'une épaisseur constante.

*    Nous connaissons le principe d'équivalence qui consiste à associer à deux particules. Une particule équivalente, qui aurait le même effet. Une particule qui aurait un moment égal à la somme des moments des deux particules.

*    Nous allons utiliser le procédé à outrance: en découpant le demi-cercle en n petites bandes dont on fera tendre l'épaisseur vers 0 pour tendre vers une infinité de bandes.

 

*    Le centre de gravité est situé sur l'axe des y, symétrie oblige.
Donc x = 0.

 

*    Reste à calculer la valeur de y.

 

*    Pour cela prenons une fine bande horizontale d'épaisseur dy, et considérons le point  M (x, y) sur la circonférence.

*      Équation cartésienne du cercle, soit les coordonnées du point Mi.

= xi² + yi²

*    Soit la valeur de x en fonction de y

xi

*    Masse de la bande (rhô est la masse volumique du matériau). Disque d'épaisseur unité.

mi

 

*    Distance de la bande à l'axe x
dy est très, très petit.

di

= yi + dy

 

*    Selon le principe de l'équivalence nous concentrons toute la bande sur son centre de gravité, situé sur l'axe y, avec la masse correspondante.

*    Moment de ce point, équivalent à la bande par rapport à l'axe y.

=  

=

*    Il nous faut calculer le moment du centre de gravité du demi-disque

*    Moment du centre de gravité (épaisseur toujours unité).

*      Maintenant, nous allons ajouter toutes les contributions des n bandes et égaler cette somme au moment du centre de gravité de l'ensemble.

*    En égalisant:

*    dy est très, très petit; dy tend vers 0 et dy² = 0

*    Expression de y

y

*    En remplaçant xi par sa valeur

 

*    Ici intervient le calcul intégral qui consiste à faire une sommation quasi-infinie. Alors, dy tend vers 0 et justifie pleinement le fait de négliger le terme en dy².


(C'est la méthode de Leibniz qui manque un peu de rigueur; c'est Cauchy qui va résoudre très proprement cette astuce de calcul en introduisant la notion de limite).

 

*    Pour bien signifier ce passage de bandes élémentaires ( on dit discrètes) aux "bandes" continues, on change symbole de sommation sigma en une sorte de grand S.

*    Les n bandes qui couvraient le rayon R, sont transformer en un processus continu qui va de 0 à R.

*    Passage au formalisme de l'intégrale

y

*    Changement de variable pour s'affranchir de la racine

= r² – y ²

*    En dérivant, on obtient également cette égalité

2u.du

= 0 – 2y. dy

*    Lorsque y varie de 0 à r:

u

varie de r  à 0

*    L'intégrale devient:

y

*    Pour résoudre une telle intégrale, on cherche la fonction de degré supérieur qui donnerait celle-ci pour dérivée. Il s'agit d'une sorte de "surface de degré 3" de la courbe de degré 2 (c'est une image pour interpréter le procédé le plus simplement possible).

*    Pour calculer la valeur de la "surface" embrassée par l'intégrale, il suffit alors de faire la différence entre la valeur d'arrivée (pour 0) et la valeur de départ (pour R).

*    Primitive d'un carré:

*    Valeur pour le départ,
ou borne inférieure, u = R:

yR

*    Valeur pour l'arrivée,
ou borne supérieure, u = 0:

y0

*    Différence:

yG

Voir Calcul par intégrales / Primitives

 

 

 

Bilan

Le centre de gravité ou centre géométrique du demi-disque est situé sur l'axe de symétrie à une distance du centre de 

4R / 3Pi  = 0,4244131815783875620503567023267… R

Soit, un peu en-dessous du milieu du rayon.

 

 

 

 

Suite

*  Centre de gravité – Formes multiformes

*  Centre de gravité et barycentreGlossaire

*  Paraboloïde et conoïde

*  Croissant de lune

Voir

*  ArchimèdeBiographie

*  Euréka

*  Forces

*  Histoire

*  Multiplication

*  SciencesIndex

*  Treuil

Aussi

*  Gravité dans DicoMot

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*  Nombre 0,4244…

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