NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PHYSIQUE

 

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Général

 

 

INDEX

 

Sciences 

BASES

Accélération

Projectile

Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Bombarde

>>> Vitesse

>>> Trajectoire

>>> Coup au but

>>> Explications

>>> Bilan

 

 

 

 

Étude du mouvement du projectile

 

Application des notions apprises en terminale. Progressivement nous arriverons à déterminer le mouvement du centre de gravité du projectile en déterminant l'accélération, puis la vitesse, et finalement la trajectoire.

 

En fin de page, on trouvera des explications complémentaires pour les non-aguerris, renvoyées par notes numérotées.

 

 

Galilée

Galilée démontre que pour des projections effectuées avec le même impeto selon des élévations différentes, la plus grande portée sera obtenue pour une élévation de 45°; toute projection effectuée sous un angle plus grand ou plus petit sera au contraire plus courte.

 

 

 

BOMBARDE

 

*      Une bombarde sur le rempart d'un fortin lance son boulet.

*        Volume: V

*         Masse: m

*         Vitesse: v0

*         Angle: alpha

*         Hauteur par rapport au sol: h

*         Intensité du champ de la pesanteur: g.

*      En vol le projectile est soumis  à son poids:

Direction

Sens

Valeur

verticale

vers le bas

P = m.g

 

*    Le boulet est aussi soumis à la poussée d'Archimède:
Cette fois c'est le volume du liquide déplacé qu'il faut considérer, soit le volume du boulet rempli d'air de masse volumique rhô.

 

Direction

Sens

Valeur

verticale

vers le haut

PA = mA .g =  . V. g

 

Application numérique:

*        g = 10 m .s-2 (en fait: 9,81)

*        m = 100 kg

*        V = 30 litres = 30 10-3 m3

*         = 1,3 kg . m-3

 

La poussée d'Archimède est de très peu d'influence sur le mouvement du boulet.

 

 

P =

 

 

PA =

=

 

 

P/PA =

 

 

100 x 10 = 1000 N

 (100 kg de force)

 

1,3 x 30 x 10-3 x 10

0,39 N

(39 g de force)

 

1000 / 0,39 = 2 564

 

Mouvement – Vitesse

 

 

Système

Référentiel

 

Le projectile

Terrestre supposé galiléen

*      Deuxième loi de Newton

 

Poids

&

accélération

 

 

*    Accélération
Projections

(Composantes sur les axes)

Note 1 et 2

 

 

*    L'accélération est la dérivée de la vitesse:

Note 3 et 4

 

 

 

 

*    Il faut trouver les primitives.

Note 5

 

 

 

 

*    Nous connaissons la vitesse initiale (pour t = t0 = 0):

Note 6

 

 

 

*    En tenant compte des valeurs pour t = 0.

Note 7

 

 

 

 

*    En x, sur l'axe horizontal

 

la vitesse est constante au cours du temps

 

Le mouvement en projection sur l'axe horizontal est uniforme.

*    En z, sur l'axe vertical

 

la vitesse varie au cours du temps

 

Le mouvement en projection sur l'axe vertical n'est pas uniforme.

 

Mouvement – Équation

Pour le centre de gravité G

 

 

 

 

*      Sa progression est la primitive de sa vitesse

Note 8

 

 

*    Conditions initiales:
G (0, h)

 

 

*    Trajectoire en calculant t dans l'une pour le remplacer dans l'autre.

 

 

 

*    Bilan

 

 

 

*    Conclusion

 

Il s'agit de l'équation de la parabole.

La trajectoire du boulet est donc parabolique.

 

*    Plus formellement

 

Le mouvement du centre d'inertie G du projectile s'effectue dans le plan vertical (z0x) contenant le vecteur vitesse .

 

Le mouvement de la projection de g sur l'axe horizontal est uniforme et sur l'axe vertical, il est uniformément varié.

 

 

 

Coup au but

avec un tir horizontal

 

 

*      Le boulet atteint le sol (son but) pour:

 

 

z = 0

 

 

 

*    Application numérique:

 

x = 100m

h = 20 m

 

Ce qui correspond à 180 km/h

 

 

 

 

Explications complémentaires

Note 1

 

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Pourquoi noter le deuxième axe  z plutôt que classiquement y en maths?

Pour simplifier, nous travaillons dans le plan vertical (deux axes x et z). En trois dimensions, il faudrait ajouter l'axe de profondeur y.

Note 2

 

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Projection d'un vecteur sur les axes: il s'agit de l'empreinte du vecteur sur les axes. Les deux sommets sont renvoyés sur les axes à l'aide de droites parallèles (pointillés) aux axes.

 

Cet artifice est pratique car il permet de s'intéresser séparement au mouvement du projectile selon chacun des axes.

 

Note 3

 

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Accélaration et relation avec la vitesse:

 

Il s'agit de décrire l'accélération en fonction du temps. Dans le cas général, les coups d'accélation ou de déccélération modifient la valeur de la vitesse. L'accélération à chaque instant montre comment se comporte la vitesse. L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. 

 

Connaissant la vitesse, passer à l'accélaration consiste à dériver; connaissant l'accélération, passer à la vitesse consiste à intégrer (calcul de primitive).

 

Note 4

 

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Calcul de la vitesse:
Nous connaissons la valeur de l'accélération projetée sur chaque axe. La vitesse est la dérivée en fonction du temps de chacune de ces composantes.

 

Sur l'axe horizontal (x), l'accélération est nulle (le poids n'agit pas dans cette direction). La primitive est une constante.

 

Sur l'axe vertical, l'accélération est celle de la peanteur; celle qui fait tomber les objet sur le sol; celle qui est due au fait que la Terre vous attire vers elle. Elle est égale à g. En fait, moins g pour signifier que le sens est vers le bas.

Note 5

 

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Comment s'y prendre pour touver la primitive?

 

Sur l'axe z, si l'accélération est constante (ça continue à accéléer tout le temps!), la vitesse est constamment croissante avec le temps. La primitive est une fonction linéaire du temps (v = k.t), avec pour coefficient la valeur de l'accélération (k = – g). Comme toujours, la primitive est conuue à une constante près.

 

 

Note 6

 

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Suite à la note 1, nous devons exprimer les valeurs des projections sur les axes.

 

Nous connaissons l'angle alpha du vecteur avec l'horizontale.

 

La partie sur l'axe x est en cosinus (cosinus à côté de l'angle). La partie sur l'axe z est alors en sinus.

Note 7

 

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Comment déterminer les constantes?

Sur l'axe x, la vitesse est constante. Or, nous savons qu'au temps initial (t = t0 = 0), la vitesse vaut: v0 cos . Elle reste constamment égale à celle valeur.

Sur l'axe z, au temps initial la vitesse est égale à une constante (car – g.t = 0). Or, nous avons qu'audépart la vitesse vaut:  v0 sin . La constante vaut donc cette valeur.

 

Note 8

 

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Nouvelle primitive à trouver pour passer de la vitesse à la trajectoire.

 

En x, la vitesse est constante, le mouvement est une focntion linéaire du temps (à 100 km/h en voiture en deux heures, je parcours deux fois plus). x en fonction du temps est égale à la vitesse multipliée par le temps, sans oublier une constante toujours là dans les primitives.

 

En y, la vitesse est linéaire avec le temps (- g.t), la primitive est d'un degré supérieur (2). La "recette" dans ce cas est connue: la primitive de y = a . x est:  Y = 1/2 ax² + cste (car la dérivée redonne bien a.x). Appliquée ici, cela donne:

 

 

 

 

Bilan

Cet exemple est représentatif de tous les problèmes de chute ou de lancer de projectiles. Il montre comment, à partir des lois de Newton et par intégrations successives, il possible de déterminer la trajectoire d'un corps en mouvement.

Un tel exercice sous cette forme ou voisine est souvent posée au baccalauréat.

 

 

 

 

 

Suite

*  Treuil

*  Dérivées

*  Primitives

*  Accélération

*  Chute libre

Voir

*  ArchimèdeBiographie

*  Archimède et ses contemporains

*  Balle, disque et anneau

*  Centre de gravité

*  Équations (analogie de la balance)

*  Histoire

*  Euréka

*  Multiplication

*  SciencesIndex

Aussi

*  Dicomot

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