NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 04/11/2010

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Sommaire de cette page

>>> Multiplication MUSULMANE

>>> Multiplication À TRAITS

>>> Multiplication ÉGYPTIENNE

>>> Multiplication en DIVISANT par 2

>>> Multiplication RUSSE

>>> Multiplication MAGIQUE

 

 

 

 

MULTIPLICATIONS

de divers pays

 

Curieuses dispositions, mais efficaces

 

 

MULTIPLICATION MUSULMANE

*   On dispose les deux termes comme indiqués.

*   Horizontal en haut de gauche à droite: 873.

*   Vertical à gauche de bas en haut: 43
pour 34 en remontant.

 

*   On écrit le résultat de chaque produit élémentaire.

*   en séparant les dizaines et les unités.

Exemple: 4 x 8 = 32; 4 x 7 = 28 …

 

*   On ajoute les chiffres des diagonales,

*   avec les retenues.

Exemple: 8 + 1 + 9 =  8

*   et on mémorise 1 de retenue
pour la diagonale suivante.

 

*   On lit le résultat de gauche à droite,

*   puis vers le haut: 29 682.

Exemple

 

873 x 34 = 29 682

 

Opération

 

8

7

3

 

4

 

2

 

8

 

2

 

3

 

2

 

1

 

2

3

 

4

 

1

 

9

 

2

 

2

 

0

 

1 8

 

 

2

 

9

 

6 5 + 1

 

Résultat dans les cellules jaunes

 

 

 

MULTIPLICATION À TRAITS  - Méthode graphique

*   Calculons 32 x 12.

*   Posons 3 et 2 allumettes verticales pour 32.

*   Puis 1 et 2 allumettes horizontales pour 12.

 

 

 

*   Le produit est simplement le décompte des intersections en oblique (ici, dans les surfaces jaunes dessinées).

32 x 12 = 384

 

Autre exemple (avec retenues)

*   Calculons 432 x 142.

*   Posons 4, 3 et 2 allumettes verticales.

*   Puis 1, 4 et 2 allumettes horizontales.

 

*   Le produit est simplement le total des intersections en oblique (ici, dans les ovales jaunes).

*   Faisons les additions en propageant les retenues vers la gauche comme dans toute addition:

Avec 14, je pose 4 et garde 1;

Avec 22, j'ajoute la retenue, ce qui donne 23; je pose 3 et je garde 2 en retenue …

432 x 142 = 61 344

Voir Méthode avec les doigts

 

 

MULTIPLICATION ÉGYPTIENNE

 

Méthode utilisée par les Égyptiens

 

*    Soit la multiplication à effectuer.

*   Dans un premier temps l'un des nombres est décomposé en puissance de 2.

 

19 x 11

 

19 =

 

 

 

16 + 2 + 1

*   Toutes les multiplications élémentaires sont effectuées.

Le 2e nombre est multiplié par chacune des puissances de deux qui forment le 1er nombre.

1

2

4

8

16

11

22

0

0

176

*   Il suffit d'effectuer la somme.

 

209

Voir Binaire

 

 

MULTIPLICATION en DIVISANT par 2

 

Variante plus élaborée de la méthode égyptienne

*   On divise l'un par deux.

*   On multiplie l'autre par deux.

*   On ne retient que les nombres à droite, en face d'un nombre impair à gauche.

*   On ajoute les nombres retenus.

Exemple 1

6

6

 

3

12

12

1

24

24

6 x

6 =

36

 

 

Exemple 2

27

35

35

13

70

70

6

140

 

3

280

280

1

560

560

27 x

35 =

945

 

MULTIPLICATION RUSSE

 

Méthode proche utilisée par les Russes

Même principe que ci-dessus

*   On multiple l'un par 2 et l'autre est divisé par 2.

*   On ne retient que les valeurs associées à un impair.

*   On somme ces valeurs.

 

Méthode plus rapide

*   On barre dans la colonne de gauche,

*   tous les nombres en face de nombre pairs de l'autre colonne,

*    et on somme.

Note

19 en binaire = 10 011

Ce motif explique le principe de la multiplication.

Exemple

57 x 19 = 1 083

 

x 2

/ 2

57

19

114

9

228

4

456

2

912

1

1 083

 

 

 

 

 

MULTIPLICATION MAGIQUE

*   Pensez à un nombre inférieur à 1000.

 

*   Donnez le reste de la division

*    par 7,

*    puis par 11 et,

*    enfin, par 13 :

soit : a, b et c ces restes.

Ne connaissant que des trois restes,

donnez le nombre d'origine!

Exemple

468

 

468 divisé par

donne

7

a = 6

11

b = 6

13

c = 0

*   Le nombre du départ se retrouve en calculant la formule :

 

N = reste de
          (715a + 364b + 924c) / 1 001

 

ou plus mathématique

N = (715a + 364b + 924c)  mod 1 001

 

 

*   Avec 715 = multiple de 11 x 13 et multiple plus 1 de 7

715 = 5 x 11 x 13 = 102 x 7 + 1

 

*   Même chose pour les autres.

 

*   La démonstration n'est pas évidente

*   Elle basée sur le fait que 1 001 = 7 x 11 x 13.

*   Et sur le théorème des restes chinois.

 

Avec 6, 6 et 0, il s'agit de retrouver le nombre du départ

Voici le calcul à effectuer

 

715 x 6 =

364 x 6 =

924 x 0 =

4 290

2 184

0

Somme =

Division par 1 001 =

6 474

6,…

Somme trouvée

Moins 6 fois 1 001

6 474

- 6 006

qui donne

468

 

  

 

Suite

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