NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Multiplication MUSULMANE

>>> Multiplication À TRAITS

>>> Multiplication ÉGYPTIENNE

>>> Multiplication RUSSE

>>> Multiplication MAGIQUE

 

 

 

 

 

 

 

MULTIPLICATIONS

de divers pays

 

Curieuses dispositions, mais efficaces.

 

 

 

MULTIPLICATION MUSULMANE

*   On dispose les deux termes comme indiqués.

*   Horizontal en haut de gauche à droite: 873.

*   Vertical à gauche de bas en haut: 43
pour 34 en remontant.

 

*   On écrit le résultat de chaque produit élémentaire.

*   en séparant les dizaines et les unités.

Exemple: 4 x 8 = 32; 4 x 7 = 28 …

 

*   On ajoute les chiffres des diagonales,

*   avec les retenues.

Exemple: 8 + 1 + 9 =  8

*   et on mémorise 1 de retenue
pour la diagonale suivante.

 

*   On lit le résultat de gauche à droite,

*   puis vers le haut: 29 682.

Exemple

 

873 x 34 = 29 682

 

Opération

 

8

7

3

 

4

 

2

 

8

 

2

 

3

 

2

 

1

 

2

3

 

4

 

1

 

9

 

2

 

2

 

0

 

1 8

 

 

2

 

9

 

6 5 + 1

 

Résultat dans les cellules jaunes

 

Anglais: lattice method

 

MULTIPLICATION À TRAITS  - Méthode graphique

*   Calculons 32 x 12.

*   Posons 3 et 2 allumettes verticales pour 32.

*   Puis 1 et 2 allumettes horizontales pour 12.

 

 

 

*   Le produit est simplement le décompte des intersections en oblique (ici, dans les surfaces jaunes dessinées).

32 x 12 = 384

 

Autre exemple (avec retenues)

*   Calculons 432 x 142.

*   Posons 4, 3 et 2 allumettes verticales.

*   Puis 1, 4 et 2 allumettes horizontales.

 

*   Le produit est simplement le total des intersections en oblique (ici, dans les ovales jaunes).

*   Faisons les additions en propageant les retenues vers la gauche comme dans toute addition:

Avec 14, je pose 4 et garde 1;

Avec 22, j'ajoute la retenue, ce qui donne 23; je pose 3 et je garde 2 en retenue …

432 x 142 = 61 344

Voir Méthode avec les doigts

 

 

MULTIPLICATION ÉGYPTIENNE

 

Méthode utilisée par les Égyptiens

 

*    Soit la multiplication à effectuer.

*   Dans un premier temps l'un des nombres est décomposé en puissance de 2.

 

19 x 11

 

19 =

 

 

 

16 + 2 + 1

*   Toutes les multiplications élémentaires sont effectuées.

Le 2e nombre est multiplié par chacune des puissances de deux qui forment le 1er nombre.

1

2

4

8

16

11

22

0

0

176

*   Il suffit d'effectuer la somme.

 

209

Voir Binaire – Multiplication

 

 

MULTIPLICATION PAYSANNE RUSSE

Variante plus élaborée de la méthode égyptienne.

Méthode de la multiplication paysanne russe

en multipliant et en divisant par 2.

Méthode

On divise l'un par deux.

On multiplie l'autre par deux.

 

On ne retient que les nombres à droite, en face d'un nombre impair à gauche.

 

On ajoute les nombres retenus.

 

Exemple 1

 

 

Exemple 2

Variantes

On simplifie la présentation en ne conservant que deux colonnes et en barrant les lignes paires (exemple à gauche)

 

L'ordre des facteurs est indifférent (exemple à droite)

 

Exemple 2 (bis)

 

 

Exemple 2 (bis)

 

 

Autre exemple

Application sur tableur

En colonne B, on calcule le PLANCHER de la cellule supérieure divisée par 2.

En colonne C, on calcule le MODULO 2 du nombre à gauche.

En colonne D, on prend le double de la cellule supérieure.

En colonne E, on fait le produit de C par D, et en pied de colonne, on effectue la somme.

Bilan: 10 021 x 250 = 2 505 250

Voir Autres applications avec tableur

 

 

Explications avec un cas simple

 

Voyez la multiplication de 9 par 8 dont le produit est 72.

En multipliant un des facteurs par 2 et en divisant l'autre par 2 on ne change pas le résultat de la multiplication.

On reproduit ce procédé jusqu'à ne plus pouvoir diviser par 2. C'est le résultat de la multiplication.

 

Observez que 1, 2, 4 et 8 sont les puissances de 2 successives

 

En divisant 8 par 2 jusqu'à la fin et en compensant en multipliant par 2 le nombre 9, on ne change pas le résultat de la multiplication.

Illiustration

 

Explications complètes

 

On a compris que la méthode est basée sur une sorte de représentation en puissances de 2, ou binaire.

 

 

Mieux qu'une explication formelle fastidieuse, le tableau montre comment opèrent les puissances de 2 successives selon que la représentation binaire comporte des 1 ou non.

 

On retrouve la division par 2 (colonne de gauche) et la multiplication par 2 (troisième colonne).

 

Numération classique (exemple  35)

35 = 32 + 2 + 1

35 = 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20  

35 =  1000112

 

Méthode russe (division par 2)

35 / 2 = 16 reste 1

17 / 2 =   8 reste 1
  8 / 2 =   4 reste 0

  4 / 2 =   2 reste 0

  2 / 2 =   1 reste 0

  1 / 2 =   0 reste 1

On retrouve la représentation binaire de 35 (en remontant).

 

La multiplication 35 x 27  devient:

(32 + 2 + 1) x 27

 

Tableau explicatif

Voir Autre méthode de multiplication sans table – (doublements et addition)

 

 

 

MULTIPLICATION MAGIQUE

*   Pensez à un nombre inférieur à 1000.

 

*   Donnez le reste de la division

*    par 7,

*    puis par 11 et,

*    enfin, par 13 :

soit : a, b et c ces restes.

Ne connaissant que des trois restes,

donnez le nombre d'origine!

Exemple

468

 

468 divisé par

donne

7

a = 6

11

b = 6

13

c = 0

*   Le nombre du départ se retrouve en calculant la formule :

 

N = reste de
          (715a + 364b + 924c) / 1 001

 

ou plus mathématique

N = (715a + 364b + 924c)  mod 1 001

 

 

*   Avec 715 = multiple de 11 x 13 et multiple plus 1 de 7

715 = 5 x 11 x 13 = 102 x 7 + 1

 

*   Même chose pour les autres.

 

*   La démonstration n'est pas évidente

*   Elle basée sur le fait que 1 001 = 7 x 11 x 13.

*   Et sur le théorème des restes chinois.

 

Avec 6, 6 et 0, il s'agit de retrouver le nombre du départ

Voici le calcul à effectuer

 

715 x 6 =

364 x 6 =

924 x 0 =

4 290

2 184

0

Somme =

Division par 1 001 =

6 474

6,…

Somme trouvée

Moins 6 fois 1 001

6 474

- 6 006

qui donne

468

 

  

 

 

 

 

Suite

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