NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Types

de Nombres

TYPES

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Types de nombres

 

Entiers

Rationnels

Algébriques

Décimaux

Relatifs

Irrationnels

Transcendants

Réels

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Système décimal, nombres décimaux

>>> Nombres décimaux – Définition

>>> Nombres décimaux – Propriétés

>>> Tests

>>> Reconnaitre un nombre décimal

>>> Comparaison des nombres décimaux

>>> Multiplications et divisions par  10, 100 …

>>> Historique

>>> Anglais

 

 

 

 

 

NOMBRES DÉCIMAUX

 

 

Tous les nombres de ce tableau sont des nombres décimaux.

*      Nombres avec quantité de chiffres limitée après la virgule.

*      Nombres dont une fraction qui le représente peut se mettre avec une puissance de 10 au dénominateur.

 

Attention: le mot décimal est très employé!  >>>

Attention: tous les nombres à virgule ne sont pas décimaux.

 

Définition:

Nous comptons avec des nombres entiers qui s'écrivent selon une forme décimale (base 10). Certains nombres comme les nombres rationnels (fractions) s'écrivent aussi sous forme décimale: ils sont constitués d'une partie entière et d'une partie décimale, séparés par une virgule. On dit que ces nombres à virgule sont des nombres décimaux.

 

 

 

 

Approche

 

Un achat en euros peut comporter des centimes.
Exemple:    10 euros 99 centimes
Que l'on peut écrire 10,99 euros.

 

Une longueur se mesure en mètres, centimètres …
Exemple: 2 mètres et 3 décimètres et 5 centimètre et 2 millimètres
               s'écrit: 2,352 m.

Voir Déci, centi, milli …

 

Certaines divisions s'arrêtent (reste nul):
Exemple: 6/5 = 1,2

 

Dans tous ces cas, on emploie alors les nombres à virgule, la quantité de chiffres après la virgule étant limitée.
123,456.

Ce n'est pas le cas avec un nombre tel que Pi qui vaut 3,141592 … avec des chiffres sans fin.

Ce n'est pas le cas de 1/7 = 0,142857 142857 … avec des chiffres sans fin, même si ce sont les mêmes qui se répètent.

 

Les nombres avec virgule et quantité limitée de chiffres sont des nombres décimaux.

Les nombres entiers (sans virgule ou avec une virgule suivie de 0) font partie de cette famille.

 

 

 

Système décimal, nombres décimaux

 

Système décimal

Nous comptons ave le système décimal, c'est-à-dire avec des puissances de 10, aussi nommé système de numération de position.

 

Les chiffres présents dans le nombre sont les chiffres significatifs; les derrière la virgule sont les décimales.
L'exemple comporte six chiffres significatifs et trois décimales.

 

attention.png   Cas des nombres négatifs

   Soit le nombre négatif = – 13,45    =  – 14 + 0,55 

*      Sa partie entière est     -14

*      Sa partie décimale est     0,55

 

 

Exemple de nombre décimal

Avec interprétation de chacun des chiffres selon sa position dans le nombre.

 

Développement décimal

Lorsqu'un nombre rationnel (une fraction) est exprimé avec un nombre à virgule, il s'agit de son développement décimal.
Le développement décimal de 1/2 est 0,5 avec 1 chiffre derrière la virgule: c'est bien un nombre décimal.

 

Remarques sur les fractions

On peut développer toutes les fractions en un nombre à virgule, mais toutes ne sont pas la représentation de nombres décimaux.
Exemple: 1/3 = 0,333… qui est un nombre périodique. Ses chiffres se répètent à l'identique indéfiniment.

 

Les nombres irrationnels (non fractions) ont un développement décimal sans fin, composé de chiffres toujours différents.

 

 

Développement décimal d'un nombre

(Ne pas confondre avec "nombres décimaux")

 

 

Voir Développement décimal / Développements sur les nombres décimaux / Décimal dans DicoMot Math

 

Anglais pour séparateur décimal: decimal point or radix point

 

Amusement

La racine cinquième de 109 vaut 2, 555555 397. Avec six décimales à 5.

Voir Curiosité de formes avec les nombres

 

 

Nombres décimaux – Définition

 

avec n entier rationnel et m, a et b entiers naturels.

 

Aussi

 

Nombre décimal: Nombre fractionnaire à développement fini.

 

 

Place des nombres décimaux

 

 

Voir Inventaires des nombres / Nombres périodiques

 

 

 

Nombres décimaux – Propriétés

 

Propriétés classiques

Tout nombre décimal est un nombre rationnel.

 

Un nombre décimal est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale. Exemple: 12,5  = 12 + 0,5

 

Il peut s'écrire comme la somme d'un entier et d'une fraction.
Exemple: 12,25 = 12 + ¼  ou 12 ¼

 

La somme de deux nombres non-décimaux peut très bien être décimale.
Exemple: 1/3 + 1/6 = 1/2 = 0,5 

 

Entre deux nombres décimaux, il existe une infinité de nombres décimaux.
Exemple: 1,2 / 1,21 / 1, 212 / … / 1,3

 

 

Propriétés avancées

Les nombres décimaux peuvent s'écrire en utilisant un entier suivi d'une puissance négative.
 
Exemple: 12,34 = 1234 10-2

 

Tout nombre rationnel inférieur à 1 peut être représenté par une somme de fractions égyptiennes.
Exemple: 41/42 = 1/2 + 1/3 + 1/7

 

Les nombres décimaux forment un ensemble stable par l’addition et la multiplication. L'ensemble est stable par la soustraction à condition d'introduire les décimaux négatifs. L'ensemble n'est pas stable par la division.

 

L'opposé –n de n est un nombre décimal.

L'inverse 1/n de n (non nul) n'est pas toujours un nombre décimal.

 

 

Tests

*    Écrire le nombre comportant 6 centièmes et 15 dixièmes:

n = 6/100 + 15/10 = 0,06 + 1,5 = 1,56

 

*    Écrire le nombre comportant 25 dixièmes; les chiffres des unités, des centaines et des millièmes sont identiques; et la partie décimale est juste supérieure à 0,7 sans dépasser 0,71.

 

*    Donner la partie entière et la partie fractionnaire de 1479 / 12.
Simplification par 3 de cette fraction: 493 / 4.

Division de 493 par 4 qui donne 123 comme quotient et 1 pour reste.

Réponse: 1479 / 12 = 123 + 1/4

 

*    Combien valent 75 + 5/100 ? Réponse: 7505 / 100

On peut aussi écrire directement: 75,05 = 7505/ 100

 

 

Reconnaitre un nombre décimal

 

Une fraction représente un nombre décimal si la fraction irréductible qui lui est égale a un dénominateur qui peut être décomposé sous forme d'un produit de puissances de 2 et de puissances de 5.

 

Pour reconnaitre si une fraction représente un nombre décimal, on peut:

*      effectuer la division et constater l'arrivée d'un reste nul, ou

*      chercher si de dénominateur est en 2a.5b.

 

 

 

 

Ces deux nombresci-dessus sont décimaux.

 

 

Ce nombre n'est pas décimal

9/280 = 0,032 142857 142857…

 

 

 

 

 

Comparaison des nombres décimaux

Comment distinguer les nombres décimaux les plus grands ou les plus petits?

Il faut les mettre en tableau et les comparer, dans l'ordre, selon les dixièmes, centièmes, millièmes, etc.

 

Comparez

 

0,002 / 1,002 / 0,012 / 0,100 / 0,102 / 0,111 / 0,101

Voir Tableau >>>

 

Attention aux nombres négatifs

 

– 5,2 < – 3,987654 < – 3,97 < – 0,1 < 0

 

Mise en tableau et en ordre

 

 

Multiplications et divisions par  10, 100 …

Manipulation des nombres décimaux

 

Pour savoir une fois pour toutes pourquoi on décale vers la droite ou vers la gauche, voir ce tableau.

 

 

Voir Multiplication / Division / Formation des nombres

 

 

 

HISTORIQUE

 

*       1582 - Simon Stevin (Flamand), le premier européen à proposer une notation des nombres décimaux dans son ouvrage De Thiende (le Dixième).

 

*       1592 - Jost Bürgi (Suisse) simplifie l’écriture de Stevin en utilisant simplement le signe ° pour signaler le chiffre des unités.

 

*       Magini (Italien) propose le point tel que les anglo-saxons le pratique encore aujourd'hui.

 

*       1608 – C'est Snellius qui introduit la virgule de notre notation décimale.

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

Les anglo-saxons notent les "nombres à virgule" avec un point à la place de notre virgule (3,56 devient 3.56). Si le premier chiffre est un zéro, il est omis (0,12 devient .12).

Voir Application à un jeu de nombres

 

 

When we write numbers, the position, or place, of each number is important: place value.

In the number 678. 54:

*    the 8 is in the Units position,

*    the 7 is in the Tens position, and

*    the 6 is in the Hundreds position

As we move left, each position is 10 times bigger.

As well, when we move right, from the decimal point, each position is 10 times smaller: from Units, to Tens (5), to Hundreds (4) ...

 

 

 

 

Suite

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*       Conversion nombre décimal en fraction

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*       Fractions

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Voir

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