NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Construction – 1 / a

>>> Construction – 2 / k

>>> Construction – 1 / p.q

>>> Construction avec fractions de somme 1

>>> Construction amusante

>>> Construction géométrique d'une fraction

 

 

 

 

 

FRACTIONS UNITAIRES

et ÉGYPTIENNES

 

Comment les construire.

 

CONSTRUCTION – 1 / a

 

*      Formule de base

Connue notamment de Fibonacci.

 

 

 

*      Principe du calcul sur un exemple.

*      Une fraction égyptienne peut s'exprimer sous la forme de sa voisine et une autre dont le dénominateur est le produit des deux dénominateurs.


*      Il est possible de répéter le procédé pour l'une ou les deux des fractions obtenues.
Il y a donc une infinité de manière de représenter un nombre par une série de fractions égyptiennes.

 

 

 

 

 

 

 

Suite en  Table et comparaison entre fractions usuelles

 

 

CONSTRUCTIONS – 2 / k

 

*      Remplacer 2/k
            par 2/(k+1) + 2/k(k+1)

 

*      Cette méthode donne un premier  dénominateur plus petit que celui fournit par la méthode exposée ci-dessus.

 

 

 

 

*      Remplacer 2/k
            par 1/a + (2a – k) / ak

 

*      On choisit a comme l'entier juste supérieur à k/2.

 

Exemple avec a quelconque

 

Exemple avec a = entier > à k/2

 

 

 

CONSTRUCTION – 1 / p.q

 

*      Multiplions numérateur et dénominateur de la fraction par la même quantité non nulle.

 

 

*      Remarquez que les deux facteurs ont un air de ressemblance avec:

*  la moyenne arithmétique
Ma = (p+q)/2 et

*  la moyenne harmonique
2/Mh = 1/p + 1/q.

 

 

 

 

Exemple

 

Relation avec les moyennes

 

 

Construction avec fractions de somme 1

 

*      Nous connaissons les fractions dont la somme est égale à 1.

*      Avec trois fractions, la relation de base permet de calculer toute fraction 1/k décomposée en somme de trois fractions.

 

*      Même chose avec 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

Algorithme glouton

 

*      Méthode systématique la plus simple.

Voir exemples et comment faire fonctionner cet algorithme  >>>

 

 

 

Constructions amusantes

Comment déguiser un nombre en fraction ?

 

Prenons 21 à "déguiser" à l'aide de 5:

 

Idem en plus

Forme générique en moins

Alors n < a et

k quelconque

 

Le facteur k n'est là que si on désire un dénominateur particulier. Alors la fraction est évidemment réductible.

 

n = 5, a = 1,  k = 1

 

 

n = 5, a = 2,  k = 3

 

 

Forme générique en plus

Alors n > a et

k quelconque

 

Le facteur k n'est là que si on désire un dénominateur particulier. Alors la fraction est évidemment réductible.

 

n = 5, a = 6,  k = 1

 

 

n = 5, a = 9,  k = 3

 

 

Plus élaboré …

Prenons 21 à déguiser à l'aide de 6:

 

 

Forme générique en moins

Avec a < n

 

Le facteur k n'est là que si on désire un dénominateur particulier. Alors la fraction est évidemment réductible.

n = 5,  a = 2  et k = 1

 

n = 5,  a = 3  et k = 20

 

Les multiples façons de "déguiser" les nombres de 3 à 10

 

Exemple de devinette:

Comment écrire 12 avec seulement les nombres 1, 2, 3 et 4 ?

Une solution avec ce type de fraction et d'autres solutions comme dans les jeux classiques avec les nombres.

 

 

 

Construction géométrique d'une fraction

 

Formulation

Dans le triangle DGE, application du théorème de Thalès:

 

Application

On se propose de construire une longueur égale à 5,8.

Le dénominateur est choisi pour faire u + v, sachant que u et v sont les multiplicateurs de deux nombres au numérateur.

Notez le produit en croix au numérateur.

 

 

Il existe généralement quantité de solutions, comme:
 5,8 = (1x1 + 6x24)/25
      = (10x2 + 3x3)/5
      = (4x4 + 7x6)/10
(Illustration)
      = …

Il y en a 1828 pour (a, b, u et v) de 1 à 100, et, en général, une infinité.

  

 

Exemples

    

Voir Constructions de fractions simples / Brève 528

 

 

 

 

 

Suite

*    Algorithme pour la recherche des fractions égyptiennes

*    Comparaison des fractions usuelles

*    FractionsGlossaire et index

Voir

*    Tables des fractions égyptiennes 

*    Fraction avec 0,65

*    Fractions dont la somme est égale à 1

*    Sommes d'inverses

*    Théorie des nombresIndex

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