NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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De chiffres

 

Sommaire de cette page

>>> Construction – 1 / a

>>> Construction – 2 / k

>>> Construction – 1 / p.q

>>> Construction avec fractions de somme 1

 

 


 

 

FRACTIONS UNITAIRES

et ÉGYPTIENNES

 

Comment les construire.

 

CONSTRUCTION – 1 / a

 

*      Formule de base

Connue notamment de Fibonacci.

 

 

 

*      Principe du calcul sur un exemple.

*      Une fraction égyptienne peut s'exprimer sous la forme de sa voisine et une autre dont le dénominateur est le produit des deux dénominateurs.


*      Il est possible de répéter le procédé pour l'une ou les deux des fractions obtenues.
Il y a donc une infinité de manière de représenter un nombre par une série de fractions égyptiennes.

 

 

 

 

 

 

 

Suite en  Table et comparaison entre fractions usuelles

 

 

CONSTRUCTIONS – 2 / k

 

*      Remplacer 2/k
            par 2/(k+1) + 2/k(k+1)

 

*      Cette méthode donne un premier  dénominateur plus petit que celui fournit par la méthode exposée ci-dessus.

 

 

 

 

*      Remplacer 2/k
            par 1/a + (2a – k) / ak

 

*      On choisit a comme l'entier juste supérieur à k/2.

 

Exemple avec a quelconque

 

Exemple avec a = entier > à k/2

 

 

 

CONSTRUCTION – 1 / p.q

 

*      Multiplions numérateur et dénominateur de la fraction par la même quantité non nulle.

 

 

*      Remarquez que les deux facteurs ont un air de ressemblance avec:

*  la moyenne arithmétique
Ma = (p+q)/2 et

*  la moyenne harmonique
2/Mh = 1/p + 1/q.

 

 

 

 

Exemple

 

Relation avec les moyennes

 

 

Construction avec fractions de somme 1

 

*      Nous connaissons les fractions dont la somme est égale à 1.

*      Avec trois fractions, la relation de base permet de calculer toute fraction 1/k décomposée en somme de trois fractions.

 

*      Même chose avec 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

Algorithme glouton

 

*      Méthode systématique la plus simple.

Voir exemples et comment faire fonctionner cet algorithme  >>>

 

 


 

Suite

*    Algorithme pour la recherche des fractions égyptiennes

*    Comparaison des fractions usuelles

*    FractionsGlossaire et index

Voir

*    Tables des fractions égyptiennes 

*    Fraction avec 0,65

*    Fractions dont la somme est égale à 1

*    Sommes d'inverses

*    Théorie des nombresIndex

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