NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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De chiffres

 

Sommaire de cette page

>>> Fractions avec les chiffres de 1 à 9

>>> Sommes entières de deux telles fractions

>>> Sommes entières de trois telles fractions

>>> Faire 100 avec additions et les neufs chiffres

>>> Utilisation des fractions

 

 

 

 

 

Fractions avec les chiffres de 1 à 9

Leurs sommes

Comment atteindre 100 par additions?

 

Amusement avec les chiffres et les fractions. Peut être utile pour certains jeux de nombres. Comme, par exemple: faire 100 avec additions avec les neuf chiffres.

 

 

 

Fractions avec les chiffres de 1 à 9

Ce tableau à double entrées indique toutes les fractions formées avec

*       tous les chiffres pour le numérateur (ligne en haut), et

*       tous les chiffres pour le dénominateur (colonne de gauche).

 

Sur les 81 valeurs dans le tableau, il y a:

*       46 fractions non réductibles,

*       12 fractions réductibles (rouges), et

*       23 nombres entiers (jaunes).

 

Les nombres premiers comme 5 et 7 (lignes et colonnes ocre) ne produisent que des fractions irréductibles.

 

 

Sommes entières de deux telles fractions

 

Ce tableau indique toutes les sommes de deux fractions, réduites ou non, faites de quatre chiffres tous différents.

 

Exemple:

 

Propriétés

Sur 3 645  sommes de ces fractions, seules 37 sont retenues comme ayant des chiffres différents et produisant une somme entière.

 

Le nombre entier le plus grand est 6 avec 6/4 + 9/2. Notez l'esprit de ce tableau: on a aussi,  6  = 3/2 + 9/2, mais avec cette configuration, le chiffre 2 est présent deux fois ce qui est contraire à notre exigence.

 

En rouge, les fractions irréductibles. Aucune somme n'est constituée de deux fractions irréductibles.

 

 

 

 

Sommes entières de trois telles fractions

 

Ce tableau indique toutes les sommes de trois fractions, réduites ou non, faites de six chiffres tous différents.

 

Exemple (la dernière):

 

 

Voir Réduction au même dénominateur

 

 

Propriétés

Sur 84 480 sommes de ces fractions (non redondantes), seules 40 sont retenues comme ayant des chiffres différents et produisant une somme entière.

 

Le nombre entier le plus grand obtenu de la sorte est 8.

Voir Fractions pannumériques minimales

 

 

 

La suite est du niveau collège

 

Applications

Comment atteindre la valeur 100 avec les neuf chiffres, mais avec la seule addition? Faisable qu'en introduisant les fractions.

Voyons cela.

 

 

 

Faire 100 avec additions et les neufs chiffres

 

 

Dans un premier temps, on examine la possibilité d'atteindre la somme 100 avec les neuf chiffres.

 

Leur simple somme:
1 + 2 + 3 + 4  + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =
½  x 9 x 10 = 45.

 

Pour atteindre 100, il faut trouver autre chose. On utilise la concaténation des chiffres, comme 1 et 2 qui peuvent se concaténer en 12 ou 21. Remarquons que seules les concaténations à deux chiffres sont possibles sans dépasser la valeur 100.

On va montrer que, même avec la concaténation, c'est impossible. Aucune configuration du type:
12 + 3 + 54 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99
ne permet d'atteindre 100.

 

En effet, ils sont neuf chiffres avec cinq impairs, c'est pourquoi la somme (45) est impaire. Pour atteindre 100, nombre pair, il faut opérer une concaténation produisant un nombre pair tout en supprimant un nombre impair. Ce sont les possibilités illustrées dans le tableau ci-contre. Observez que, pour chaque nombre pair, il y a cinq possibilités chacune donnant répétitivement la même somme.

La somme 100 n'est jamais atteinte avec une seule concaténation. Une deuxième est nécessaire. Elle doit conserver la parité de la somme. Elle ne peut s'effectuer qu'entre deux nombres pairs restants. Tous les essais sont vains.

 

Pour information

Dans toutes les solutions à huit chiffres, c'est le chiffre 8 qui est absent.

 

Sommes à une concaténation

 

Les sept solutions à huit chiffres

 

 

Utilisation des fractions

 

 

Faire 100 avec les neuf chiffres et uniquement des additions devient faisable en introduisant des  fractions.

 

Ce tableau donne quelques exemples. La colonne blanche isole les fractions utilisées avec la somme partielle obtenue.

 

Notez toutes les variantes possibles en intervertissant les unités. Voir exemples en ligne 2 et en ligne 4.

 

 

Exemples de somme de deux fractions entières avec chiffres différents

La plus grande avec numérateur à deux chiffres:

Les suivantes:

 

Parmi les plus petites (la somme et les deux fractions couvrent huit chiffres sur dix):

Il existe 115 telles sommes de fractions.

 

 

 

 

 

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*    The Nine Digits Page 1 – World! Of Numbers

*    Nine to OneMaths Puzzle Mall

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