NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/08/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Puissances de 2 >>> Quelques valeurs typiques >>> Nombres de Fibonacci >>> Multiple de 1 à 9 >>> Bilan

FRACTIONS engendrant des PUISSANCES

Fractions en 1/ (10^k – n)

Magie des nombres et des fractions. Certaines fractions contiennent en elles-mêmes toutes les puissances énièmes des nombres successifs, les multiples et même la suite de Fibonacci.

Exemple avec les puissances de 2

Voir Nombre périodiques / Développement décimaux remarquables

Approche

Nous intéressons aux fractions proches de 1 / D ayant un dénominateur D proche de 10^k, par exemple 99, 98, 998 ou 999 … Cette proximité d'une puissance de 10 induit des configurations notables dans le développement décimal de ces fractions. La table donne les fractions en 1 /9 … et leur valeur décimale jusqu'à la première puissance erronée. La colonne suivante donne la puissance maximale engendrée et la colonne à droite indique la valeur qui aurait due être la suivante. Les 0 derrière la virgule sont remplacés par des points pour mieux apprécier la structure. Remarque Avec 1/ 1002, le 0998 soustrait de 1002 (fraction en 1 /998) donne 4, puis, en poursuivant, on obtient les puissances de 4. En effet 1/998 – 1/1002 = 1/24999 = 0,000004 000016 000064 000256 …

Puissances de 2
Principe de la construction par addition Exemple de la construction avec les puissances de 2 sur trois chiffres (1/998). C'est la somme des fractions suivantes: au numérateur la puissance de 2 cherchée et au dénominateur la puissance de 10^3k qui laisse la place à chaque puissance de 2 de s'exprimer dans la sommation. À concurrence de trois chiffres. Pour plus de chiffres, il faut des puissances de 10 en 10^h . k Le 1024 comportant quatre chiffre empiète sur le voisin de gauche et rompt la sommation libre des puissances de deux.
Jusqu'à quelle puissance? En prolongeant les fractions, il est possible d'obtenir les puissances de deux jusqu'à l'infini.
La dernière fraction avec 8 chiffres au dénominateur donne:

La 16^e fraction avec les puissances de 2 sur trois chiffres

Principe de la construction par division Pour obtenir le dénominateur de la faction, rien de plus simple, en principe! Si N = 1/D alors D = 1/N Il suffit de prendre l'inverse du nombre désiré. Le tableau ci-contre montre ces divisions.
Cas de la fraction 1/49 En divisant le numérateur par 2, on multiple le nombre par 2. D'où les valeurs indiquées ci-contre.	1 / 98 = 0,1020408163265… 1 / 49 = 0, 20408163265… 1 / 24,5 = 0. 408163265

Quelques valeurs typiques – Présentation
Présentation du tableau Prenons un nombre N avec toutes les décimales voulues. On calcule son inverse avec suffisamment de décimales. La calculette de votre ordinateur vous donnera 32 chiffres. Voir Ci-contre. Bonne pioche si, derrière quelques chiffres significatifs, une grande série de 0 apparaît. C'est le cas pour 0,001002003 … = 1 / 998 Mauvaise pioche s'il faut une longue suite de chiffres. C'est le cas des nombres successifs sans 0 intercalaires. Comme: 1 / 8,100000067076…. Excellente pioche si les décimales sont en nombre très limité. C'est le cas de la suite des nombres pairs avec 1 / 499,0005.	Utilisation de la calculatrice de l'ordinateur 1) Cliquez sur l'icône Windows 2) Sur tous les programmes 3) Sur Accessoires 4) Sur calculatrice 5) Ouvrir Affichage et cochez scientifique

Voir Calculatrice

Quelques valeurs typiques – Table

Nombres de Fibonacci
Rappel de la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 … Notez que F11 = 89 Nombre 89 Le développement décimal de la fraction 1/89 fait apparaitre les premières valeurs des nombres de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5 (Division longue ci-contre). Notez les restes: on y retrouve les deux nombres à sommer: (1+1), (2+1), (3+2), … La suite cache elle aussi les nombres de Fibonacci suivants? En effet, la somme des nombres de Fibonacci pondérée par les inverses des puissances de 10 reconstruit progressivement la valeur de la fraction 1/89 en tenant compte des retenues(Tableau). Notez que le dénominateur 89 est lui-même un nombre de Fibonacci (coïncidence).	Une simple division montre déjà un résultat 1 / 0,0112358 = 89,0012… En reprenant à l'envers 1 / 89 Somme pondérée des nombres de Fibonacci

Suite en Pourquoi 1/89 et polynômes générateurs /

Somme complète des Fibonacci = 1/ 89 (page Excel)

Nombre 89 / Nombre 109

Multiples de 1 à 9
D'abord voyons ce que donnent les fractions en 1/50, 1/49 … En ajustant correctement ce type de fractions, il est possible d'obtenir des nombres produisant les multiples de 1, 2, 3, 4 … On donne deux fractions: celle qui donne ces multiples à deux chiffres et celles à trois chiffres.

Bilan

998, 997, 996 … produisent les puissances successives de 2, 3, 4 …

999,001 produit la succession des nombres entiers

499,005 produit celle des nombres pairs

Suite	1/81= 0,0123456 … Nombre de Carroll Formation de 1/7 Fractions égyptiennes Somme d'inverses Nombres en 99 …98 – Motifs Nombre périodiques
Voir	Équations – Glossaire Fractions – Glossaire Puissances consécutives et formation de motifs Puissances de 10 Rationnel, et somme d'inverses Représentation de Zeckendorf Sommes et Partitions Suite harmonique
DicoNombre	Nombre 10 Nombre 49 Nombre 98 Nombre 998
Site	Fractions with Special Digit Sequences – Robert Munafo
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Fraction/FraPuiss.htm