NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Puissances de 2

>>> Quelques valeurs typiques

>>> Nombres de Fibonacci

>>> Multiple de 1 à 9

>>> Bilan

 

 

 

 

 

 

 

FRACTIONS engendrant des PUISSANCES

Fractions en 1/ (10k – n)

 

Magie des nombres et des fractions. Certaines fractions contiennent en elles-mêmes toutes les puissances énièmes des nombres successifs, les multiples et même la suite de Fibonacci.

 

 

Exemple avec les puissances de 2

 

Voir Nombre périodiques / Développement décimaux remarquables

 

 

Approche

 

*    Nous intéressons aux fractions proches de 1 / D ayant un dénominateur D proche de 10k, par exemple 99, 98, 998 ou 999 … Cette proximité d'une puissance de 10 induit des configurations notables dans le développement décimal de ces fractions.
 

*    La table donne les fractions en 1 /9 … et leur valeur décimale jusqu'à la première puissance erronée. La colonne suivante donne la puissance maximale engendrée et la colonne à droite indique la valeur qui aurait due être la suivante.

Les 0 derrière la virgule sont remplacés par des points pour mieux apprécier la structure.

Remarque

Avec 1/ 1002, le 0998 soustrait de 1002 (fraction en 1 /998) donne 4, puis, en poursuivant, on obtient les puissances de 4.

En effet 1/998 – 1/1002 = 1/24999 = 0,000004 000016 000064 000256 …

 

 

 

 

Puissances de 2

 

Principe de la construction par addition

 

*    Exemple de la construction avec les puissances de 2 sur trois chiffres (1/998).

C'est la somme des fractions suivantes:

*      au numérateur la puissance de 2 cherchée et

*      au dénominateur la puissance de 103k qui laisse la place à chaque puissance de 2  de s'exprimer dans la sommation. À concurrence de trois chiffres. Pour plus de chiffres, il faut des puissances de 10 en 10h . k

 

 

*    Le 1024 comportant quatre chiffre empiète sur le voisin de gauche et rompt la sommation libre des puissances de deux.

 

Jusqu'à quelle puissance?

 

*    En prolongeant les fractions, il est possible d'obtenir les puissances de deux jusqu'à l'infini.

 


 

 

 

*    La dernière fraction avec 8 chiffres au dénominateur donne:

 

 

La 16e fraction avec les puissances de 2  sur trois chiffres

 

 

Principe de la construction par division

 

*    Pour obtenir le dénominateur de la faction, rien de plus simple, en principe!

*    Si N = 1/D alors D = 1/N

*    Il suffit de prendre l'inverse du nombre désiré.

*    Le tableau ci-contre montre ces divisions.

 

 

 

Cas de la fraction 1/49

 

*      En divisant le numérateur par 2, on multiple le nombre par 2. D'où les valeurs indiquées ci-contre.

 

1 / 98    = 0,1020408163265…

1 / 49    = 0,    20408163265…

1 / 24,5 = 0.        408163265

 

 

Quelques valeurs typiques – Présentation

 

Présentation du tableau

 

*    Prenons un nombre N avec toutes les décimales voulues.

*    On calcule son inverse avec suffisamment de décimales.

La calculette de votre ordinateur vous donnera 32 chiffres. Voir Ci-contre.

*    Bonne pioche si, derrière quelques chiffres significatifs, une grande série de 0 apparaît.

 C'est le cas pour 0,001002003 … = 1 / 998

 

*    Mauvaise pioche s'il faut une longue suite de chiffres.

C'est le cas des nombres successifs sans 0 intercalaires.

Comme: 1 / 8,100000067076….

 

*    Excellente pioche si les décimales sont en nombre très limité.

C'est le cas de la suite des nombres pairs avec 1 / 499,0005.

 

 

Utilisation de la calculatrice de l'ordinateur


 

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Quelques valeurs typiques – Table

 

Nombres de Fibonacci

Ce type de fractions engendre les nombres de Fibonacci. Selon la taille du dénominateur, on laisse plus ou moins de place aux nombres pour s'exprimer.

Avec la troisième fraction, tous les nombres de Fibonacci à trois chiffres sont présents sauf le dernier, victime d'une retenue avec l'addition du suivant (988 au lieu de 987). On vérifie bien que: 233 + 377 = 610.

L est la longueur de la période de chacune de ces fractions. Avec 10/89, le même bloc de L = 44 chiffres est répété sans fin.

Notez que le dénominateur 89 est lui-même un nombre de Fibonacci (coïncidence).

 

 

 

 

 

Multiples de 1 à 9

 

*    D'abord voyons ce que donnent les fractions en 1/50, 1/49 …


 

*    En ajustant correctement ce type de fractions, il est possible d'obtenir des nombres produisant les multiples de 1, 2, 3, 4 …
On donne deux fractions: celle qui donne ces multiples à deux chiffres et celles à trois chiffres.

 

 

 

Bilan

998, 997, 996 … produisent les puissances successives de 2, 3, 4 …

999,001              produit la succession des nombres entiers

499,005              produit celle des nombres pairs

 

 

 

 

 

Suite

*   Fractions égyptiennes

*    Somme d'inverses

*    Nombres en 99 …98 – Motifs

*    Nombre périodiques

Voir

*    ÉquationsGlossaire

*    FractionsGlossaire

*    Puissances consécutives et formation de motifs

*    Puissances de 10

*    Rationnel, et somme d'inverses

*    Sommes et Partitions

*    Suite harmonique

DicoNombre

*    Nombre 10

*    Nombre 49

*    Nombre 98

*    Nombre 998

Site

*    Fractions with Special Digit Sequences – Robert Munafo  

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