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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 18/07/2009

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Glossaire COMPTER

 

ARRANGEMENTS

& contraintes

 

 

Sommaire de cette page

>>> HISTOIRE DE FAMILLE

>>> LES BOUQUINS

>>> Lettres de MATHÉMATIQUES

>>> Lettres de CONSTITUTION

>>> CHIFFRES

 

 

 


 

 

ARRANGEMENENTS

avec contraintes particulières

 

Quelques exemples

 

 

HISTOIRE DE FAMILLE

 

On examine quatre contraintes successives et on donne le dénombrement des possibilités:

 

Ensemble

5  frères et 3 sœurs

Choix

Tous assis sur un banc

Contrainte

Résultats

Les frères sont ensemble

*    Les frères forment un ensemble en soi

-          Parmi eux il y a 5! permutations

*      Cet ensemble de frères et les 3 sœurs  forment 4 éléments que nous pouvons permuter

-          soit 4! permutations

*    Par principe multiplicatif

-          Le total des possibilités est 5! x 4! = 2 880

Les sœurs sont ensemble

*    Les sœurs forment un ensemble en soi

-          Parmi eux il y a 3! permutations

*      Cet ensemble de sœurs et les 5 frères  forment 6 éléments que nous pouvons permuter

-          soit 6! permutations

*    Par principe multiplicatif

-          Le total des possibilités est 3! x 6! = 4 320

Aucune sœur à côté d'une autre

*    Plaçons les 5 garçons

-          Il y a 5! permutations

*    Les filles sont d'un côté ou de l'autre des garçons

-          Il y a 6 possibilités (imaginer un trou vacant entre les garçons et à chaque bout du banc: 4 trous et 2 bouts = 6 places possibles pour les filles)

-          Il faut y loger 3 filles; soit A36 arrangements

*    Par principe multiplicatif

-          Le total des possibilités est
       5! x A36 = 120 x 120 = 14 400

Les sœurs sont aux places paires

*    Sur les 8 places, les filles peuvent occuper les places 2, 4, 6 ou 8

-          Elles sont 3 pour ces 4 places; soit A34 arrangements

*    Les garçons occupent les places vacantes

-          Il y en a 5 pour les 5 frères: soit 5! permutations

*    Par principe multiplicatif

-          Le total des possibilités est
       5! x A34 = 120 x 24 = 2 880

 

 

 

 

 

LES BOUQUINS

 

 

Ensemble

7 livres : 5 Dumas, 1 Hugo et 1 Voltaire

Choix

Tous sur une étagère de ma bibliothèque

Contrainte

Résultats

Hugo et Dumas sont séparés

*    Total des permutations des 7 livres : 7!

*    Cas où Hugo et Dumas se touchent

-          Ils composent un bloc: 2! permutations entre eux

-          Ce bloc associé aux 5 autres livres donne: 6! permutations

*      Cas où Hugo et Dumas ne se touchent pas = Total - cas où ils se touchent

-          Soit 7! - 6! x 2! = 7 x 6! - 6! x 2! = 6! x 5 = 3 600

 

 

 

 

 

MATHÉMATIQUES

 

Ensemble

Lettres du mot MATHÉMATIQUES

13 lettres dont: 2M, 2A, 2T, 2E

soit 8 consonnes dont deux doubles et

5 voyelles dont deux doubles

Choix

Former tous les mots

(sans nécessairement un sens)

Contrainte

Résultats

Les voyelles

ne sont jamais

ensemble

*    Total des arrangements en tenant compte des quatre éléments multiples

-          13! / (2! x 2! x 2! x 2!) = 389 188 800

*    Cas où les voyelles A A E E I sont ensemble

-          Il y a en 5 dont 2 doubles: 5! / (2! x 2!) = 30

-          Ce bloc de 5 et les 8 consonnes dont 2 doubles forment:
 9! / (2! x 2!) = 90 720 arrangements

*    Cas où les voyelles ne sont pas ensemble

-          389 188 800 - 30 x 90 720 = 386 467 200

Voir Mathématiques et ses domaines

 

 

 

 

 

CONSTITUTION

 

Ensemble

Lettres du mot CONSTITUTION

12 lettres dont: 2O, 2N, 3T, 2I

soit 7 consonnes dont 1 triple et 1 double

et 5 voyelles dont 2 doubles

Choix

Tous les mots

(sans nécessairement un sens)

Contrainte

Résultats

Les voyelles

sont ensemble

*    Cas où les voyelles O O I I U sont ensemble

-          Il y a en 5 dont 2 doubles: 5! / (2! x 2!) = 30

-          Ce bloc de 5 et les 7 autres lettres dont 1 triple et 1 double forment:
 8! / (3! x 2!) = 3 360 arrangements

*    Par principe multiplicatif

-          Le total des possibilités est
       30 x 3 360 = 100 800

Consonne puis voyelle

Consonne puis voyelle

… autant que possible

Soit

CVCVCVCVCVCC

 

*    Permutations de 7 consonnes dont 1 triple et 1 double

-          7! / (3! 2!) = 420

*     Permutations de 5 voyelles dont 2 doubles

-          5! / (2! 2!) = 30

*    Par principe multiplicatif

-          Le total des possibilités est
       420 x 30 = 12 600

Mots commençant et finissant pas N

*    On place le N en début et fin du mot

*    Il reste 10 lettres dont 1 triple et 2 doubles

-          10! / (3! 2! 2!) = 151 200

 

 

 

 

 

 

CHIFFRES

 

 

Ensemble

1, 2, 3 ,4, 3, 2, 1

Soit 7 chiffres dont 3 doubles

Choix

Tous les nombres

Contrainte

Résultats

Les chiffres impairs sont en positions impaires

I, P, I, P, I, P, I

*    Il y a places pour positionner les nombres impairs

*    Il y a 4 nombres impairs dont 2 doubles

-          4! /(2! 2!) = 6

*    Il y a 3 places pour les 3 pair dont 1 est double

-          3! / 2! = 3

*    Par principe multiplicatif

-          6 x 3 = 18

 

Ensemble

1, 2, 4, 7, 8, 9

Choix

Tous les nombres

Contrainte

Résultats

Supérieurs à 70 000

sans chiffre répété

a

 

 

 

 

a = 7, 8 ou 9

*    Plaçons le premier chiffre

-          A13 = 3! / 2! = 3 (OK évident sans passer par Apn !)

*    Il reste 5 chiffres à placer en 4 positions

-          A45 = 5! / 1! = 120

*    Par principe multiplicatif

-          3 x 60 = 360

 

Ensemble

1, 2, 3, 4, 5

Choix

Tous les nombres

Contrainte

Résultats

Supérieurs à 2 000

sans chiffre répété

a

 

 

 

a = 2, 3, 4, 5

*    Plaçons le premier chiffre

-          A14 = 4! / 3! = 4

*    Il reste 4 chiffres à placer en 3positions

-          A34= 4! / 1! = 24

*    Par principe multiplicatif

-          4 x 24 = 96

 

 

 

 


 

 

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