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		Cercle de Conway
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Cercle de Conway – Cercle des six points

Cercle passant par six points situés sur les côtes prolongés d'un triangle quelconque. Imaginé par John Conway (1937-2020)

Construction du cercle de Conway
Triangle quelconque ABC. Prolonger les côtés et y déposer: Triangle isocèle en A de côté a. Triangle isocèle en B de côté b. Triangle isocèle en C de côté c. Les six sommets des bases des triangles isocèles sont cocycliques. Ce cercle est le cercle de Conway du triangle ABC. Les sommets forment un hexagone.

Démonstrations
Avec médiatrices et bissectrices Médiatrice MN du segment DE. Le cercle passant par D et E se trouve sur cette droite. Dans le triangle isocèle CDE, c'est aussi la bissectrice de l'angle au sommet DCE C'est aussi la bissectrice de l'angle opposé par le sommet ACB. C'est le cas pour les deux autres triangles isocèles. L'intersection O des bissectrices est le centre du cercle inscrit au triangle ABC. C'est par conséquent le point d'intersection des trois médiatrices des bases des triangles isocèles. Donc les points D, E, F, G, I, et J sont sur le même cercle de centre O et concentrique au cercle inscrit du triangle ABC.
Avec les angles Les trois diagonales sont égales (isométriques) Les trois petits triangles sont isocèles, comme le sont les triangles opposés (comme CMN et CRQ). Avec le même angle au sommet (C), les angles à la base sont égaux (1). Idem pour les deux autres. Notez que, par conséquent, les côtés opposés de l'hexagone sont parallèles. La somme des angles dans un hexagone vaut 4 x 180°. Elle vaut aussi: 4 x (1 + 2 + 3). Alors: 1 + 2 + 3 = 180° Prenons le quadrilatère jaune (MNPQ). La somme des angles opposés (1 + 2 3) vaut 180°. Ce quadrilatère est inscriptible dans un cercle. Idem pour les deux autres. L'hexagone de Conway est inscriptible dans un cercle.

Propriétés
Quelques beautés !	Le centre du cercle de Conway est aussi celui du cercle inscrit dans le triangle. Les diagonales sont égales. Les côté opposés sont parallèles. Les grands triangles sont isocèles. Les médianes de l'hexagone sont aussi les médiatrices des côtés, comme les bissectrices des angles du triangle.
Avec r le rayon du cercle inscrit et s le demi-périmètre du triangle, le rayon du cercle de Conway se calcule avec:
Cercle de Reuleaux construits sur les points du cercle de Conway. Pour les six arcs de cercle, les centres sont les sommets du triangle.

Cercles de Conway exinscrits
Un triangle bleu. Le cercle de Conway (pointillés bleus) avec ses six points (en vert). Les centres des trois cercles exinscrits du triangle. Trois cercles (en rouge) depuis ces centres et passant par deux des points de Conway Les intersections définissent six points supplémentaires (verts) qui se trouvent sur les droites portant les côtés du triangle. Chaque point de Conway a une image symétrique par rapport à un des sommets du triangle (exemple en jaune).

Suite	Cercle de Ducci Cercle des huit points Cercle des neuf points
Voir	Cercle – Index Étoile mystique de Pascal Euler Géométrie – Index Triangle – Index
Sites	Cercle de Conway – Wikipédia Cercle de Conway – Maths et tiques Conway Circle – Wolfram MathWorld Conway circle & Reuleaux-triangle John Horton Conway – Card Colm
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Conway.htm