NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

Débutants

Géométrie

CERCLES INSCRITS …

 

Glossaire Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercles

 

Triangles

 

Index

Diamètre

Inscrit

Circonscrit

Introduction

Périmètre

Puissance

Exinscrits

 

Sommaire de cette page

Cercle inscrit dans un polygone

>>> Cercle inscrit dans le triangle

>>> Triangle rectangle

>>> Triangle de Pythagore

>>> Triangle équilatéral

>>> Cercles dans un quadrilatère cyclique

Cercle parmi n cercles

>>> Bilan

>>> n cercles

 

 

 

 

Cercles dans un cercle – Kandinsky

 

CERCLES INSCRITS

 

Dans le triangle quelconque

Calcul du rayon du cercle inscrit.

 

Dans le triangle rectangle de Pythagore (nombres entiers)

Le rayon du cercle inscrit est aussi un nombre entier.

 

Au milieu de cercles

On dessine des cercles identiques tangents entre eux.

Une place se dégage au centre.

Quelle est la taille du cercle inscriptible ?

 

 

 

Cercle inscrit dans le triangle quelconque

Le centre du cercle inscrit O dans le triangle quelconque est le point de concours des bissectrices (AO, BO et CO).

Propriété des bissectrices: les segments OPA, OPB et OPC  sont égaux et perpendiculaires aux côtés. Ce sont trois rayons du cercle inscrit.

Les deux triangles de sommets A sont égaux (isométriques). Même chose en B et C.

L'aire du triangle est égale à la somme des aires de ces six triangles.

 

En posant : a + b + c = 2 (x + y + z) = 2s

 

Le rayon du cercle inscrit est égal à deux fois l'aire divisée par le périmètre du triangle.

 

Et en prenant la formule de Héron pour l'aire:

 

Les triangles AOPB et AOPC  sont égaux, car:

- Angles en A égaux;

- Angles droits en P; et

- Côté commun AO.

Voir Coordonnées du centre du cercle inscrit / Relations dans le triangle quelconque

 

 

Triangle rectangle

Première relation (d'après ci-dessus)

A = ½ ab et P = a + b + c

r = ab / (a+b+c)

 

Deuxième relation

Elle résulte de la vérification suivante (utilisation du théorème de Pythagore):

 

(a + b + c) (a + b – c )
= + 2ab + b² – c²
= 2ab

 

Cercle circonscrit

Le triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle et le rayon du cercle circonscrit est c/2.

 

Formules connues du Chinois Liu Hui (220-280), prouvées par une dissection géométrique.

Attention cette relation n'est valable ici que parce que a² + b²  = c²

 

Démonstration alternative

 

En comparant la somme du triangle complet à la somme des trois triangles le composant. Les trois rayons dessinés vers les points de tangence étant les hauteurs de ces triangles.

 

 

Anglais: The inradius of a right triangle with integral sides

 

Triangle de Pythagore – Extraordinaire!

Approche

 

Quel est le rayon du cercle inscrit dans le fameux triangle de Pythagore (3, 4, 5).

 

En appliquant la relation vue ci-dessus, il vient que r = 1, un nombre entier.

 

Est-ce toujours vrai ? Oui !

Généralisation

 

Caractérisation des côtés du triangle (triplet de Pythagore).

 

a = u² – v²,  b = 2uv,  c = u² + v²

Avec u > v

Aire

A = ½ (u² – v²) 2uv = uv (u – v) (u +  v)

Périmètre

p = u² – v² + 2uv + u² + v²

    = 2u² + 2uv = 2u(u + v)

Calcul du rayon du cercle inscrit

 

Théorème

La longueur du rayon du cercle inscrit dans un triangle de Pythagore est un nombre entier.

 

 

 

Et les autres cercles?

Les longueurs ont également des nombres entiers pour les rayons des trois  cercles exinscrits

Mais, ce n'est pas le cas du rayon du cercle circonscrit qui vaut c/2, or dans un triplet primitif  c est impair.

 

 

Exemple

 

Avec u = 3 et v =2

a = 9 – 4 = 5

b = 2 x 3 x 2 = 12

c = 9 + 4 = 13

A = ½  5 x 12 = 30

p = 12 + 13 + 5 = 30

r = 2A/p = 2

 

 

Relation entre (a, b, c) et r

Cas de c = b + 1

 

 

Remarque

Valable pour les triplets en (a, b, b+1)

Ne donne pas, par exemple, les triplets:

*       (  8, 15, 17) avec  r = 3;

*       (12, 35, 37) avec r = 5;

*       (20, 21, 29) avec r = 6;

*       etc.
 

Triplet (a, b, c) pour r de 1 à 15

Anglais: Circle inscribed in Pythagorean triangle

 

 

Triangle équilatéral – Calcul des aires

Avec le triangle équilatéral,

*       l'aire du cercle circonscrit est égale à quatre fois celle du cercle inscrit; et

*       la zone jaune en croissant a la même aire que celle du cercle inscrit.

*       ces trois croissants jaunes forment une couronne dont l'aire est trois fois celle du cercle inscrit.

Voir Recherche du centre du cercle inscrit dans le triangle équilatéral

 

 

 

 

 

 

 

Dans un quadrilatère cyclique

ABCD un quadrilatère cyclique.

Les deux diagonales Ac et BD.

 

Les quatre cercles inscrits dans les grands triangles formés avec les côtés et les diagonales.

Les quatre centres de ces cercles sont les sommets d'un rectangle.

 

 

 

 

 

 

 

Cercles inscrits dans l'espace formé par n cercles tangents

 

BILAN

 

0,154

= (23/3 – 1)

*    Rayon du cercle inscrit dans 3 cercles

0,410

= 1/2 (2 2 – 2)

*    Rayon du cercle inscrit dans 4 cercles

0,701

 

*    Rayon du cercle inscrit dans 5 cercles

1

 

*    Rayon du cercle inscrit dans 6 cercles

 

 Voir DicoNombre

 

 

n CERCLES de même rayon

 

3 cercles

 

 

a = R + r

= 2/3 h

r = 2/3 h - R

h² = (2R)² - R²

= 3R²

h = R3

r = 2/3 3 R - R

= (23/3-1)R

r = 0,15470... R

Voir Orthocentre / Triangle équilatéral

 

   

 

 

4 cercles

 

D = 2 R + 2 r

r = 1/2 (D - 2R)

D² = (2R)² + (2R)²

D = 22 R

r = 1/2 (22 - 2)R

r = 0,4142... R

  Voir Carré

 

 

 

5 cercles

 

 

C = 2R = OP/2  (10 - 25)

    = k. OP

OP = 2R / k

Avec

k = 1,1755

OP = R + r

r = OP - R

 

r = (2/k – 1) R

r = 0,701 R

 

 Voir Pentagone

 

 

6 cercles

 

 

R = r

 Voir Hexagone / Construction / Rosace

 

 

 

 

 

Suite

*  Cercle circonscrit

*   Cercles exinscrits

*    Puissance d'un point par rapport à un cercle

Voir

*    Cercles et triangles

*    CercleIndex

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*    Bissectrices

*    Sphère

*    Cône

Site

*    Cyclic quadrilateral – Wolfram MathWorld

*    From inscribed circle to Pythagorean proposition – D.G. Roger – Dissection de Liu Hui expliquée

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/CerclIns.htm