NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Polygones

 

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Géométrie

POLYGONES un par un

 

Glossaire Géométrie

 

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Polygones

 

Géométrie

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Hexagone

Mesures

Rosaces

Dodécagone

 

Sommaire de cette page

>>> Enveloppes de l'hexagone

>>> Parallélogramme

>>> Autour de l'hexagone

>>> Dénombrement

>>> Mesures

>>> Diagonales

>>> Triangle équilatéral inscrit

>>> Pavages

>>> Segments

>>> Hexagone et trapèze

 

Cube ou hexagone

formé de 3 losanges?

Voir Pavage / Illusions

 

 

 

 

HEXAGONE

sous toutes les coutures

 

Toutes les mesures de l'hexagone de côté unité.

Voir Leurs calculs / Construction

 

Flocons de neige – Snowflakes

Photographiés par Nathan Myhrvold – Artnet

 

Enveloppes de l'hexagone

 

Un hexagone est tel que ses six sommets sont entourés d'un disque de 1 m de diamètre.

Aire:

*    Hexagone (bleu):                           2,59807621… m²

*    Enveloppe rectangulaire (vert): 3,46410161… m²

*    Enveloppe cercles (marron):     8,19615242… m²

On calcule ces valeurs en remarquant que la grande diagonale du losange vaut racine de 3.

 

L'enveloppe marron correspond au rectangle minimum permettant de loger sept personnes avec un mètre de distance entre-elles.

 

Anglais: hexagon hull

 

 

Parallélogramme dans l'hexagone

Propriété

Ce parallélogramme bleu interne à l'hexagone couvre une aire égale au tiers de celle de l'hexagone.

 

Démonstration

Pour le voir, on compare sa moitié GHB à l'un des six triangles équilatéraux qui couvent l'hexagone: ABK.

Avec même hauteur et base égale, ces deux triangles sont égaux. Soit 1/ 6 de l'hexagone.

Aire du parallélogramme = 1/3 de l'aire de l'hexagone.  

 

 

Construction autour de l'hexagone

 

Hexagone + six carrés + six triangles équilatéraux

 => Dodécagone

 

Sur la figure, le marquage des angles montre que, l'angle au sommet de l'hexagone étant égal à 120°, l'angle du triangle est égal à 60° (360 – 120 – 2 x 90).

Ce triangle ayant deux côtés égaux (côtés des carrés), il est équilatéral.

 

Le périmètre du dodécagone est le double de celui de l'hexagone.

 

Aire de l'hexagone: H = 6T (Triangles équilatéraux)

Aire du dodécagone: D = H + 6T + 6C = 2H + 6C

Rapport entre les aires:

 

Aire du grand hexagone: HH = H + 6T + 12T (losange = 2T)

 

Rapports entre toutes ces surfaces

Hexagone et dodécagone

Avec le grand hexagone

 

 

 

Dénombrement

 

Quantité de diagonales

 

*    La quantité de segments entre n points est donnée par Q = ½ n (n – 1) soit Q6 = 3 x 5 = 15.

*    La quantité de côté étant 6;

*    La quantité de diagonales est égale à: 15 – 6 = 9

*    Autre méthode: trois diagonales par sommet, soit 3 x 6 segments; chacun compté deux fois, ce qui donne bien 9.

 

Quantité de triangles

 

*    La quantité de triangles formés à partir des sommets est égale à 20.

*      ABC, ABD, ABE, ABF

*      ACD, ACE, ACF

*      ADE, ADF

*      AEF

*      BCD, DCE, BCF

*      BDE, BDF

*      BEF

*      CDE, CDF

*      CEF

*      DEF

*    En combinatoire, on dirait que l'on prend trois points pour faire un triangle parmi 6 soit:

 

 

 

Voir Compter les triangles dans une figure / Triangles monochromes dans l'hexagone

 

 

Mesures dans l'hexagone

Voir Triangles rectangles typiques / Diagonales dans les polygones

 

 

Hexagone régulier et ses diagonales

Longueur de la diagonale k, avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

 

k

Longueur

Formule

2

1,732050808

3

2

Voir Son calcul / Tables / Quantité d'intersections des diagonales

 

 

Diagonales de l'octogone – Calcul des longueurs

 

Exercice de géométrie

 

Angle au sommet interceptant un côté

*     

 

Diagonales

*      d1 = AD =  D

*      d2 = AC= BD = 2MF = 2r

 

Rayon des cercles

*      circonscrit: MA = R = D/2

*      inscrit: MF = r

 

Apothème

*      MF = BD/2 =  r

 

Calculs des longueurs pour une longueur du côté: a = 10.

 

Grande diagonale, diamètre du cercle circonscrit: d1 = D =  AD

Petite diagonale d2 = AC:

 

 

Calcul du côté du triangle équilatéral inscrit

 

Un hexagone de côté a. On sait que d = 2a.

Valeur de e, côté du triangle équilatéral ?

 

Théorème de Ptolémée:

Pour un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

a.a + a.d = e.e

e² = a² + 2a² = 3a²

 

C'est la même longueur que la médiane (pointillé) qui vaut deux fois l'apothème (calcul via la hauteur d'un triangle équilatéral).

  

 

 

Pavage de l'hexagone – Exemples

 

3 losanges 60 -120 de côté unité, ou

6 triangles équilatéraux unitaires.

 

6 triangles isocèles 30-30-120 unitaires.

 

Voir Allumettes; comment transformer un hexagone en cube?

 

 

 

Pavage monohédral de l'hexagone avec parties non centrales

Voir Un tel pavage pour le disque / le dodécagone

 

 

 

12 triangles rectangles 30-60 (6 en bleu et 6 en rose), ou

4 triangles rectangles 30-60 sur les côtés et 2 rectangles 1- 3/2  au milieu.

2 trapèzes isocèles 60-120 de côté 1 et 2.

 

2 triangles équilatéraux unité, plus

4 triangles isocèles 30-30-120, ou

2 losanges 60-120.

1 triangle équilatéral en racine de 3, plus

3 triangles isocèles 30-30-120.

 

Merci à Jean-Marc D.

 

Segments dans l'hexagone

 

*    Comptons les segments:

*    Du point A, il y en a 5 dont 2 côtés

*    Du point B, il y en a 4 dont 1 côté

*    Du point C, il y en a 3 dont 1 côté

*    Du point D, il y en a 2 dont 1 côté

*    Du point E, il y en a 1 dont 1 côté

*    Du point F, il y en a 0

 

Somme: 15 dont 6 côtés.

 

*    Plus rapide!

*    De chaque sommet: 5 segments.

*    Ils sont tous en double.

 

Résultat: 6 x 5 / 2 = 15.

 

Curiosité

Ces deux figures ont même périmètre.

 

Leur aire est dans le rapport 2/3.

 

 

 

Hexagone et trapèze

 

Une  nomenclature particulière de l’hexagone: il formé de six triangles rectangles (1) isométriques (égaux) qui constituent la bande centrale. Et de quatre triangles rectangles (2) semblables aux six autres, mais plus petits qui constituent les pointes.

Ces deux types de rectangles sont rappelés à droite avec leurs dimensions.Ce sont des demi-triangles isocèles avec des angles de 30° et 60°.

 

 

 

Le pentagone est le royaume de la racine de 5,
avec le nombre d’or;
l’hexagone est celui
de la racine de 3.

 

Rappel des lignes trigonométriques

 

 

Sin

Cos

Tan

30°

0,5

0,866 =

0,577 =

60°

0,866 =

0,5

1,732 =

 

Cette vision donne lieu à une énigme.

 

On donne l’hexagone non-régulier avec ses dimensions (voir données), et on demande de le rendre régulier tout en conservant la même surface (aire).

 

Données: 

*      AB = ED = 10;

*      BC = CD = EF = FA = 5;

*      GH = 12,5; et

*      les angles en A et D sont droits.

 

 

La solution consiste à pratiquer les découpes en dents de scie (cf. figure introductive à ce chapitre) et à décaler l’un des morceaux (jaune), comme le montre cette illustration en bas.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Centre de gravité de l'hexagone

*    Constructions élémentaires: hexagone

*    Hexagone de Conway

*    Pavage avec polygones

*    Puzzle avec hexagones

*    Rosaces

*    Triangles dans l'hexagone

*    Triangles monochromes dans l'hexagone

Retour

*    Hexagone – Généralités 

*    Pentagone

*    Décagone

Voir

*    Calcul de Pi

*    Construction géométrique des nombres

*    Dodécagone

*    GéométrieIndex

*    Partage du cercle en parts égales

*    Polygone

*    Rosaces

Diconombre

*    Nombre 0,517

*    Nombre 0,666 = 2/3

*    Nombre 2,598 …

*    Nombre 12

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