NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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CERCLES INSCRITS …

 

Glossaire Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercles

 

Triangles

 

Index

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Inscrit

Circonscrit

Introduction

Périmètre

Puissance

Exinscrits

 

Sommaire de cette page

>>> Quadrilatère inscrit – Aire

>>> Théorème de Miquel

>>> Rayon du cercle circonscrit

 

 

 

CERCLES CIRCONSCRITS

 

Avec le quadrilatère

Calcul de l'aire du quadrilatère inscriptible.

 

Avec le triangle quelconque

Calcul du rayon du cercle circonscrit.

 

Avec le triangle rectangle

Il est inscrit dans le demi-cercle et R = c/2

 

Formulaire du quadrilatère inscriptible

Aire

Rayon circonscrit

Diagonales

Relation

Pseudo-diagonale

Aire

 

 

Quadrilatère inscriptible dans un cercle – Aire

L'aire du quadrilatère inscrit dans un cercle, en fonction de ses quatre côtés, est donnée par la formule de Brahmagupta, une généralisation de la relation de Héron.

 

Ce qui va servir

Les angles x et y qui interceptent la même corde AC sont supplémentaires (x + y = 180°).

L'aire du triangle ABC est connue: AABC = ½ ab sin(x).

Sinus et cosinus sont liées par sin²  cos² = 1

De plus, le cosinus dans le triangle quelconque est connu en fonction des côtés.

Démonstration

Voir Cercles inscrits dans le quadrilatère cyclique / Identités remarquables

 

 

Exemples

(1, 2, 3, 4) => s = 5; A² = 24;  A = 4,8989794855664…

(1, 2, 3, 6) => s = 6; A = 0

 

 

 

 

Une autre piste de démonstration

 

Prolongez deux côté opposés. Les triangles EBA et EDC son semblables: angle commun en E et angles égaux valant u et x.

Le rapport des aires entre les deux est égal à (c/a)²

L'aire du quadrilatère vaut:

 

A = T – (c/a)² T

 

On calcule T, l'aire du triangle ABE avec la relation de Héron.

En fait, le calcul se révèle particulièrement fastidieux.

 

 

Une bonne idée, mais d'une mise en œuvre laborieuse.

Voir Démo complète sous la référence Kala Fischbein and Tammy Brooks

 

 

 

Théorème de Miquel – Théorème des trois cercles

Un triangle quelconque PQR inscrit dans un triangle quelconque (ABC), les trois cercles circonscrits de la figure se coupe en un point unique S.

 

ou réciproquement:

Trois cercles qui se coupent en un point définissent P, Q, R et S. Un point A quelconque sur un cercle. AR définit C et AP définit B, alors C, Q et B sont alignés.

Démonstration

 

 

Les deux cercles verts et les deux quadrilatères cocycliques APSR et BPSQ.

Les angles en A et B se retrouvent sous la forme de  leurs supplémentaires au centre S.

De sorte que l'angle RSQ est égal à 2Pi – (Pi – x) – (Pi – y) = x + y

Dans le triangle ABC, l'angle z = Pi –(x + y), c'est donc le supplémentaire de RSQ.

Le quadrilatère du haut (CRSQ), avec ses deux angles opposés, est cocyclique: les points C, R, S et Q sont sur le même cercle, le fameux troisième cercle.

Voir Les trois cercles d'Apollonius / Théorèmes sur le cercle

 

 

 

Rayon du cercle circonscrit à un triangle quelconque

Démonstration du calcul du rayon

 

Anglais: circumradius

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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*    Cercles exinscrits

*    Puissance d'un point par rapport à un cercle

Voir

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*    Cône

*    Identité de Brahmagupta

Sites

*    Formule de Brahmagupta – Wikipédia

*    Cyclic quadrilateral – Wolfram MathWorld

*    Area of a cyclic quadrilateral Calculator

*    Brahmagupta's Formula by Kala Fischbein and Tammy Brooks

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/CerclCir.htm