NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

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convexes et symétriques

 

Glossaire Géométrie

 

 

INDEX

 

Courbes

 

Géométrie

 

Cercle

Ellipse

Ovale / Ove

Ovale de Cassini

Super-ellipse

Ovale cartésien

 

Sommaire de cette page

>>> Construction de l'ove

>>> Calcul de l'aire de l'ove

>>> périmètre de l'ove

>>> Bilan – Formules

>>> Construction du jardinier

>>> Équation de la forme ovale

 

 

 

 

 

OVALE – OVE

 

Voir Ellipse

 

Forme ovale: forme convexe fermée arrondie comme l'ellipse ou l'ove et d'autres. Elle a au moins un axe de symétrie. Généralement construit à partir de deux cercles de rayons différents, réunis par des arcs de courbe qui leur sont tangent.

Ballon ovale: ballon de rugby.

Ove: en forme d'œuf. 

Ovoïde: ove en trois dimensions, de révolution autour de l'axe de symétrie.

Oblong: rectangle avec deux demi-cercle aux extrémités.

Capsule: forme oblongue de révolution.

 

Anglais: oval, egg curve / obround or stadium or discorectangle pour oblong

 

Construction de l'ove

La construction de l'ove classique telle qu'elle se trouvait dans les livres de géométrie de nos grands-pères.

 

 

 

1.   Un cercle de diamètre AB = 2R;

2.   Deux cercles de centre A et B et de rayon AB qui se coupent en M et N;

3.   La droite MN est la médiatrice du segment AB;

 

4.   Deux demi-droites AC et BC qui coupent les cercles en D et E.

5.   Cercle de centre C et de rayon CD (= CE).

 

 

Calcul de l'aire de l'ove

 

Aire de l'ove

 

= Aire 1 (demi-cercle ABF)

 

+ Aire 4 (quart de cercle)

 

+ 2 x Aire 3 (secteurs ABD et BAE)

 

 – Aire 2 (triangle ABC)

 

 

 

 

 

Quelques remarques

L'angle ACB inscrit dans un demi-cercle est droit (Pi/2).

Les segments AC et BC ont même longueur (cf. médiatrice).

Le triangle ABC est isocèle rectangle.

 

 

 

 

 

L'aire de l'ove (bleue) est proche

de celle du grand carré rose (99,5%).

 

Calcul des longueurs

Aire 1 (aire du disque)

Aire 2 (demi-carré)

Aire 3 (aire du secteur)

aussi 1/8 de disque

Aire 4 (quart de disque)

Aire de l'ove

Formules

 

Calcul du périmètre de l'ove

Quatre arcs

AFB, AB et BE puis DE

AFB = demi-cercle

AB = BE = 1/8 de cercle

DE = quart de cercle

Périmètre de l'ove

Formules

 

Bilan

 

 

 

Construction du jardinier

On connait la construction du jardinier pour l'ellipse avec deux piquets.

Il suffit d'en ajouter un troisième pour obtenir l'ove. Les trois piquets formant un triangle isocèle.

 

La ficelle tendue par le crayon doit être un peu pus longue que le périmètre du triangle.

Les courbes développées sont des arcs d'ellipses.

 

Pour être plus exact (lisser les points de connexion), il faudrait construire encore trois autres ellipses plus grandes.

 

 

 

Équation de la forme ovale

 

Équation de l'ellipse:

Équation de la forme ovale:

 

Illustration

En rouge: ellipse classique: x²+ y²/4 = 1

En bleu: ovale: x²+ (y/(2+0,6x))² = 1

En vert: ovale: x²+ (y/(2+1,2x))² = 1

 

 

Équation du cercle

Équation de la forme ovale:

 

Illustration

En rouge: cercle: K = 1

En bleu: ovale:    K = exp (x ln2)

En vert: ovale:    K = exp (x ln3)

 

 

 

Ovale de Cassini

 

Ovale de Cassini: lieu des points tels que le produit FM.FM' est constant.

 

Avec FM.FM' = a² et FF' = 2e, l'équation s'écrit:

 

(x² + y²)² – 2e² (x² – y²) – a4 + e4 = 0

 

Illustration du bas avec e = 6 et

Rouge: a = 8,5  (externe)

Bleue:  a = 8

Rouge: a = 6

Bleue:  a = 4

 

Allure selon a comparé à e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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Sites

*    Deux vidéos originales de Simon Cadrin

    l’œuf d’Ehrhart,

    la courbe à rayon sinusoïdal

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http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Coniques/Ove.htm