NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 8 x 8

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

 

 

Carré 8 x 8

Bimagique

Construction diagonale

Gigogne

Carré de Benjamin Franklin

Franklin et ses expériences

 

Sommaire de cette page

>>> Ce que dit B. Franklin

>>> Carré magique 8x8 de Benjamin Franklin

>>> Les semi-pandiagonales

>>> Composition matricielle

>>> Biographie de Benjamin Franklin

>>> Carré magique 4x4 de Benjamin Franklin

>>> Carré magique 16x16 de Benjamin Franklin

 

 

 

 

 

 

CARRÉS MAGIQUES de B.Franklin

d'ordres 4, 8 et 16

 

Le fameux carré magique d'ordre 8 de Benjamin Franklin a été publié en 1769 à Londres: Letters and papers on Philosophical subjects by Benjamin Franklin. Il écrit de Philadelphie à Peter Collinson à Londres. Il annonce un curiosité arithmétique (I now send you the arithmetical curiosity …).

 

Franklin se serait inspiré d'un livre sur les carrés magiques écrit par Frenicle de Bessy (1605-1675): Des Quarrez magiques.

 

Les "carrés magiques" de Franklin sont particuliers: dotés d'innombrables propriétés au prix du remplacement des diagonales des semi-diagonales.

 

Benjamin Franklin is on $100 dollar bill.

Billet Franklin.jpg

Le billet de 100 dollars est la plus grosse coupure américaine. Franklin y figure sans avoir été Président.

 

Ce que dit B. Franklin

 

I had amused myself in making these kind of magic squares, and, at length had acquired such a knack at it, that I could fill the cells of any magic square of reasonable size with a series of numbers as fast as I could write them, disposed in such manner that the sums of every row, horizontal, perpendicular or diagonal, should be equal; but not being satisfied with these, which I looked on as common and easy things, I had imposed on myself more difficult tasks, and succeeded in making other magic squares with a variety of properties, and much more curious.

 

 

Je me suis amusé à réaliser cette sorte de carrés magiques, et, à la longue, j'ai acquis un tel savoir-faire que je pouvais remplir les cellules de n'importe quel carré magique de taille raisonnable avec une série de nombres aussi rapidement que je pouvais les écrire, rangés de telle sorte que la somme des rangées, horizontales, perpendiculaires ou diagonales soit constante; mais, n'en étant pas satisfait, car je les considérais comme choses communes et faciles, je me suis imposé des tâches plus difficiles et j'ai réussi à faire d'autres carrés magiques possédant diverses propriétés, et encore plus de singularités.

Voir Anglais / Biographie de Franklin

 

 

 

 

Carré de B. Franklin, ordre 8

 

Présentation

Le carré est un carré magique inhabituel

*       de somme 260 sur les lignes et les colonnes (semi-magique)

*       et … les semi-pandiagonales. Il est semi-panmagique.

*       les sommes sur les diagonales et pandiagonales sont alternativement: 228 et 292 et non 260.

Notez la disposition des nombres en zigzags, en serpentin

 

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

D'autres présentations existent, mais ce ne sont que des variantes par premutations.

 

Sommes particulières

*       Chaque demi rangée et colonne fait la moitié: 130: 2 x 16  cas (jaune).

*       La somme des                          carrés 2 x 2 est 130: 8 x 8 = 64 cas.

*       La somme des sommets des carrés 4 x 4  est 130: 8 x 8 = 64 cas (bleu).

*       La somme des sommets des carrés 6 x 6  est 130: 8 x 8 = 64 cas.

 

*       La somme sur la forme indiquée est égale    à 260: 4 x 8 = 32 cas

*       Les sommes indiquées sur ces figures sont égales à 260: 2 x 8 x 8 = 128 cas

 

Astuce

Sur tableur, facilitez-vous la vie en copiant quatre fois le carré magique. Vous obtenez un carré de 8x8 (illustration) simulant les enroulements cylindriques. Vous n'avez plus qu'à tirez sur les formules pour les reproduire 4 fois en horizontal et 4 en vertical.

Une autre manière de voir, utilisée comme image par Franklin: copiez quatre fois le carré magique. Avec un carton, ajourez la forme désirée (ici un carré 4x4). Vérifiez que vous obtenez bien la même somme dans la fenêtre en déplaçant le carton.  

 

 

 

Les semi-pandiagonales

 – La magie du carré de Franklin

 

Le carré de Franklin comporte 96 telles semi-pandiagonales magiques (ou diagonales pliées ou bent row en anglais). Type de somme en bleu et toutes les sommes par translation de cette figure en jaune.

 

Type 1

 

52 +   3 +   5 + 54 + 43 + 28 + 30 + 45 = 260

  4 + 51 + 61 + 38 + 27 + 44 + 14 + 61 = 260

20 + …

36 +

Cela 8 fois par translation d'un cran vers le bas.

 

Type 2

 

11 + 60 + 62 + 13 + 20 + 35 + 37 + 22 = 260

59 + …

43 + …

27 + …

Cela 8 fois par translation d'un cran vers le bas.

 

Type 3

 

52 + 3 + 5 + 54 + 10 + 57 + 63 + 16 = 260

55 +  8 +  2 + 49 + 13 + 62 + 60 + 11 = 260

Cela 8 fois par translation d'un cran vers la droite.

 

Type 4

 

13 + 62 + 60 + 11 + 55 + 8 + 2 + 49 = 260

10 + 57 + 63 + 16 + 53 + 3 + 5 + 54 = 260

Cela 8 fois par translation d'un cran vers la gauche.

 

 

 

 

Composition matricielle

 

Le carré est décomposé en deux carrés:

*       le premier en haut donne le quotient de chaque cellule par 8, et

*       le second en bas donne le reste de la division par 8.

 

Cette présentation donne le "spectre" du carré et permet de reconnaitre la méthode de construction.

 

Les deux carrés forment bien un carré gréco-latin: aucun couple de deux nombres ne se répète. Il a cependant une particularité:

*       on trouve tous les couples classiques (0,1), (0,2) … (0,7), (1, 0), (1, 2) … jusqu'à (7,6).

*       mais, le couple initial (0, 0) a été transformé en (8, 0).

 

On remarque immédiatement la disposition en serpentin vertical pour le premier et horizontal pour le second. Cependant, comme pour tout carré magique d'ordre pair, il y a des exceptions (exemples avec les ronds bleus).

 

 

 

Carré de B. Franklin, ordre 4

 

 

Le carré semi-panmagique d'ordre 4 présente les mêmes propriétés que son grand frère d'ordre 8.

 

*       Somme horizontales: 34

et aussi toute suite de 4 nombres (avec enroulement comme 8 + 9 + 12 + 5 = 34

*       Somme verticales: 34

et aussi toute suite de 4 nombres (avec enroulement comme 14 + 11 + 4 + 5 = 34

*       Somme demi pandiagonales: 34 (16 vers le haut et vers le bas) et (8 vers la gauche et vers la droite).

 

Sa décomposition en deux matrices quotients et restes montre sa structure interne et le principe de sa construction. Notez la présence du 4 dans la matrice quotient.

 

 

Le graphe rouge et bleu montre la succession des nombres dans le carré magique. L'ordre de prise en compte des lignes est montré en vert.

 

Notez la belle symétrie.

 

Les autres carrés de Franklin présentent exactement la même allure de graphe.

 

Note: contrairement à la structure gréco-latine, cette représentation en serpentin ne souffre d'aucune exception.

 

Voir Carrés gréco-latins à échelle alternée

 

 

Carré 4x4 de Franklin

 

Matrices quotients et restes

 

Graphe montrant la succession des nombres

Carré 4x4 complet      et carré 8x8, ligne du bas

 

Voir Carré d'ordre 4

 

 

 

Carré de B. Franklin, ordre 16

 

Carré semi-panmagique 16 x 16 de Benjamin Franklin

 

 

Toutes les propriétés du carré de B. Franklin

Tous les carrés 4x4 somment également en 2056. Il y en a 16 x 16.

Tous les carrés 2x2 somment 514 = 2056 / 4. Il y en a 16 x 16.

Je laisse le soin aux lecteurs de trouver de nombreuses autres configurations magiques.

 

 

Structure quotients et restes

 

 

 

 

BENJAMIN FRANKLIN (1706-1790)

 

Homme politique, publiciste et physicien américain

Né à Boston. Quinzième enfant et dernier d'un marchand de chandelles et de savon.

Encouragé à devenir pasteur, se retrouve imprimeur.

Chercheur, passionné des phénomènes électriques. Il a été reçu par la Société Royale de Londres et par l'Académie des sciences de Paris.

Inventeur de génie: le paratonnerre en 1752, l'harmonica de verre, les lentilles bifocales, etc.

Passionné de jeux, notamment les carrés magiques.

Contribue à la vie publique en Amérique: première bibliothèques publiques, premiers hôpitaux, premières brigades de pompiers volontaires; actions pour l'abolition de l'esclavage

En 1774, il devient député du premier Congrès des États-Unis.

En 1176, B. Franklin, Thomas Jefferson, John Adams et deux autres personnes (Comité des Cinq) rédigent le manifeste de la Déclaration d'Indépendance des États-Unis.

Il est missionné par George Washington, chef des insurgés et futur président, pour obtenir l'appui des pays européens hostiles à l'Angleterre, dont la France.

En 1776 (70 ans), il arrive en France et attire la sympathie notamment du fait de sa bonhommie et de son look: habit de velours et toque de trappeur. Il arrive à convaincre bon nombre de volontaires dont le marquis de La Fayette.

En 1778, traité d'alliance avec Louis XVI. La participation française à la guerre d'indépendance des États-Unis fut décisive.

B. Franklin passe huit ans en France et à sa mort en 1790, la France décrète un deuil national de trois jours.

 

 

L'odeur du poisson et des visiteurs reste trois jours.

B. Franklin – Poor Richard Almanach.

Voir Pensées & humour

 

   

 

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