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Carrés GRÉCO-LATINS

ou Eulériens

Chaque ligne, comme chaque colonne, comporte des deux symboles (dessins, chiffres …) tous différents.

APPROCHE
Formes et couleurs: exemple de carré gréco-romain Un tableau de 4 lignes et 4 colonnes. Quatre dessins et quatre couleurs. Placez les motifs (combinaison des dessins et des couleurs) tel qu'ils soient différents sur les lignes comme sur les colonnes

DEUX FOIS LATINS

Le carré latin est un cousin du carré magique. C'est un carré ayant pour éléments les entiers 1, 2,..., n ou toute suite de n nombres distincts, chacun de ces nombres figurant n fois et étant placés de telle sorte que les entiers de toute ligne ou de toute colonne soient distincts.

En voici deux distincts

Superposons le second au premier, en conservant le même ordre, pour former le carré des paires.

Aucune paire n'est répétée.

Un tel carré de paires, sans répétition de paires, est appelé carré eulérien, en référence au mathématicien suisse Leonhard Euler, ou carré gréco-latin.

Les carrés latins et eulériens ont suscité un intérêt considérable.

Une fois latin

1	2	3	1	2	3
2	3	1	3	1	2
3	1	2	2	3	1

Deux fois latins

1 , 1	2 , 2	3 , 3
2 , 3	3 , 1	1 , 2
3 , 2	1 , 3	2 , 1

Définition

Carré gréco-latin

Carré eulérien

Carré bilatin

Carré latin orthogonal

Tableau n par n de n couples de motifs

répartis de manière les motifs ne se retrouvent qu'une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne.

Il y aura n² couples.

Origine du nom: lettre latines et grecques

a	b	c	d
b	a	d	c
c	d	a	b
d	c	b	a

Voir Alphabet grec

PROPRIÉTÉS
Les deux carrés sous-jacents sont dits orthogonaux. Il existe des carrés gréco-latins d'ordre quelconque sauf pour 2 et 6. Démontré en 1959 par Bose, Parker et Shrikhande Euler pensait qu'il n'existait pas pour l'ordre 2n. Voir Conjecture

Les 36 Officiers d'Euler ou 36 Grenadiers d'Euler
Problème 36 Officiers, 6 régiments, 6 grades. Un tableau 6 x 6. Chaque ligne doit contenir tous les grades et tous les régiments. Solution Impossible. Il n'existe pas de carré gréco-latin d'ordre 6. 1782 - constat par Euler. 1900 - démonstration par Tarry.

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