NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 22/12/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                      Brèves de Maths

     

ADDITION

 

Débutants

Addition

PARTITION

 

Glossaire

Addition

 

 

Index

 

Partition

 

 

Entiers & Carrés

Cubes

Puissances 4...n

Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

Somme de n puissances
                 Théorème de Waring

1 à 100 en 4 carrés

Sommes de cubes et autres puissances 

Comprendre les sommes de carrés

 

 

Sommaire de cette page

>>> Somme de 4 carrés

>>> Somme de quatre carrés distincts

>>> Carrés et somme de 2 carrés

>>> Sommes 3 & 4 carrés

>>> Couverture

>>> Somme de carrés = nombres concaténés

>>> Anglais

 

 

 

 

 

Théorème de Lagrange

Théorème de Bachet-Lagrange

Théorème de Fermat-Lagrange

Partition des nombres avec des carrés

  

Tout nombre entier est la somme de quatre carrés.

 

*    Propriété énoncée par Bachet de Méziriac, aussi par Fermat.

*    Souvent attribuée à Waring .

*    Démontrée par Lagrange en 1770.

*    Ensuite, Euler en a donné une démonstration élégante.

*    Jacobi a donné le nombre de manières dont cette décomposition est possible.

 

 

 

SOMME DE 4 CARRÉS

 

Théorème de Lagrange

 

Tout entier est décomposable en somme d'au plus quatre carrés:

 

N = A² + B² + C² + D²

 

 

Suite Théorie sur la somme des carrés

 

 

Exemples

100 = 8² + 6²

101 = 9² + 4² + 2²

    7 = 2² + 1² + 1² + 1²

Les quatre carrés sont bien nécessaires pour le nombre entier 7.

 

Historique

Connu empiriquement de Diophante.

Démontré en 1770 par Lagrange.

Jacobi a trouvé la quantité de possibilités de décompositions.
  

 

Somme de quatre carrés distincts

155 = 1² + 3² + 8² + 9²

 = 3² + 4² + 7² + 9²

157 = impossible

159 = 1² + 3² + 7² + 10²

= 2² + 3² + 5² + 11²

= 2² + 5² + 7² + 9²

161 = 3² + 4² + 6² + 10²

163 = 1² + 4² + 5² + 11²

165 = 1² + 2² + 4² + 12²

= 2² + 4² + 8² + 9²

= 2² + 5² + 6² + 10²

= 4² + 6² + 7² + 8²

Tous les nombres impairs à partir de 159 sont somme de quatre carrés distincts non nuls. F. Halter-Kock

 

 

CARRÉS et somme de DEUX CARRÉS

Tous les nombres de 0 à 100 couverts par une somme de 1 ou 2 carrés

 

0 = 

1 = 

2 =

1² + 1²

3

4  = 

5 =

2² + 1²

6

7

8 =

2² + 2²

9 = 3²

10 =

3² + 1

11

12

13 =

3² + 2²

14

15

16 = 4²

17 =

4² + 1

18 =

3² + 3²

19

20 =

4² + 2²

21

22

23

24

25  = 5²

26 =

5² + 1

27

28

29 =

5² + 2²

30

31

32 =

4² + 4²

33

34 =

5² + 3²

35

36 = 6²

37 =

6² + 1²

38

39

40 =

6² + 2²

41

= 5² + 4²

42

43

44

45 =

6² + 3²

46

47

48

49 = 7²

50

= 5² + 5²

= 7² + 1

51

52 =

6² + 4²

53 =

7² + 2²

54

55

56

57

58 =

7² + 3²

59

60

61 =

6² + 5²

62

63

64 = 8²

65 

= 8² + 1²

= 7² + 4²

66

67

68 =

8² + 2²

69

70

71

72 =

6² + 6²

73 =

8² + 3²

74 =

7² + 5²

75

76

77

78

79

80 =

8² + 4²

81 = 9²

82 =

9² + 1²

83

84

85

= 9² + 2²

= 7² + 6²

86

87

88

89 =

8² + 5²

90 =

9² + 3²

91

92

93

94

95

96

97 =

9² + 4²

98 =

7² + 7²

99

100  = 10²

= 8² + 6²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Toutes les SOMMES de 1 à 4 CARRÉS

Pour tous les nombres de 0 à 100 couverts

(en jaune le record et quantité de présentations)

 

Exemple de lecture: 20 = 2² + 4² = 1² + 1² + 3² + 3²

                                      90 est neuf fois somme de jusqu'à quatre carrés

 

 

 

 

Voir Pourcentage

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir TablesIndex

 

 

Somme de carrés = nombres concaténés

Somme = nombres concaténés

 

Tous les motifs jusqu'à 10 000 et un motif pour des nombres plus grands.

 

La recherche par ordinateur est assez longue.

 

 

10² + 1²

=

101

10² + 100²

=

10 100

12² + 33²

=

1 233

88² + 33²

=

8 833

588² + 2 353²

=

5 882 353

990² + 100²

=

990 100

9 412² + 2 353²

=

94 122 353

 

98939412² + 10243728²

=

9893941210243728

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

Lagrange's Four Square Theorem was proved in 1770 by Joseph Louis Lagrange

This statement was first stated in 1621 by Bachet, and is also known as Bachet's Conjecture.

Also conjectured by Fermat in 1640.

 

It states that every natural number is the sum of at most four squares. More formally, for every positive integer n there exist non-negative integers a, b, c, d such that n = a² + b² + c² + d².

 

Adrien-Marie Legendre improved on the theorem in 1798 by stating that a positive integer can be expressed as the sum of at most three squares if and only if it is not of the form 4k . (8a – 7).

His proof was incomplete, leaving a gap which was later filled by Karl Friedrich Gauss.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Théorie sur la somme des carrés

*    Somme de n puissances
                 Théorème de Waring

Aussi

*    S'y retrouver

*    Théorie sur la somme des carrés

*    Table des nombres de 1à 100 Toutes les présentations de partitions des nombres jusqu'à 100 en somme de 2 carrés

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Carré des triangulaires = somme de cubes

*    Cubes

*    Nombre = sommes de cubes

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombres carrés

*    Nombres cubes

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*    Somme multi puissantes

*    Unité des puissances

Sites

*    OEIS A004215 - Numbers that are the sum of 4 but no fewer nonzero squares.

*    Lagrange et la variation des théorèmes – CNRS – Pierre de la Harpe – 2014 

*    Théorème des quatre carrés de Lagrange – Wikipédia

*    Somme de carrés – Univesité de Lille

*    Décomposition d'un entier en somme de carrés

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/ThLagran.htm