NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

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Nombres

Premiers

QUANTITÉ

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Quantité

Fonction Pi (n)

Théorème des NP

Historique de Pi (n)

Tables Pi (n)

Intervalle minimum

Quantité de jumeaux

 

Sommaire de cette page

>>> Antiquité

>>> Les précurseurs

>>> On progresse

>>> Table des valeurs de pi(x)

>>> Fonction de compte de Legendre

 

NP: Nombres premiers

 

 

 

 

 

Quantité de nombres premiers

HISTORIQUE

Voir Historique sur les nombres premiers

 

 

 

Antiquité

 

*         Il y a vingt-trois siècles, Euclide démontrait l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers.

*         Choisissant n, ce raisonnement montre qu'il y a toujours des nombres premiers supérieurs à n.

 

On note  la quantité de nombres premiers p qui ne dépassent pas x

qui veut dire: somme de 1 autant de fois que de nombres premiers p inférieurs ou égaux à n

 

*         Selon la démonstration d'Euclide: tend vers l'infini avec x.

 

 

 

Les précurseurs

 

*         Gauss en 1792  puis Legendre en 1798 ont conjecturé une répartition harmonieuse des nombres premiers:

 

Théorème des nombres premiers

Cad: Le nième nombre premier, pour n très grand, est dans le voisinage de n x ln n.

Exemple: le millième nombre premier est 7 919 et 1000. ln 1000 = 6 908 erreur de 12%

                 Avec le millionième nombre premier on atteint 10,78 % d'erreur.

 

Gauss (1777-1855) et Legendre (1752-1833)

 

En 1798, Legendre publie la première conjecture sur .

Dans son livre Essai sur la Théorie des Nombres, il indique :

"vaut approximativement x/(log x - 1,08366)"

La valeur de 1,08366 tient à la dimension des tables de premiers disponibles à l'époque. En fait, on obtient une meilleure approximation avec simplement 1.

 

Exemple: Avec le millième nombre premier, on obtient 7907 au lieu de 7 991 (0,9 %)

                 Avec le millionième nombre premier on est encore avec 3 % d'erreur.

 

 

En 1863, une lettre de Gauss (1791 et 1849) est publiée et donne :

(x) est approximativement Li(x), l'intégrale de 1/log t de t = 2 à t = x.

 

Voir Décompte des nombre premiers de Legendre

 

 

 

On progresse …

 

*         En 1852, Tchebychev est le premier à avoir réussi une réelle percée pour démontrer le théorème des nombres premiers. Il a montré qu'il existe des constantes positives a < 1 < b telles que:

 

Avec a = 0,921 et b = 1,106 pour x grand

Et que, s'il y a une limite pour a et b, ce sera 1.

 

*         Riemann en 1859 prolonge la fonction dzêta
en une fonction de la variable complexe s

 

 

*         Il en déduit un certain nombre de propriétés de

 

*         Forts de ces résultats, Hadamard et La Vallée-Poussin en 1896 démontrent indépendamment le théorème des nombres premiers.

 

 

*         De La Vallée-Poussin (1866-1962) a aussi montré que Li(x) est une meilleure approximation de  que x / (log x – a), quelle que soit la valeur donnée à a et que la meilleure valeur de a est 1.

*         Mais, la meilleure formule demeure la fonction de Riemann.

 

 

 

*         En 1949, Erdös et Selberg découvrent une démonstration plus simple. Elle n'implique ni la fonction dzêta de Riemann, ni la théorie des fonctions complexes.

 

*         En 1982, Sylvester améliore la méthode de Tchebycheff et montre qu'on peut utiliser les valeurs:
a = 0,95695 et b = 1,04423 si x est suffisamment grand.

 

 

Voir Chronologie des pe rsonnalités

 

 

 

TABLES de valeurs de

 

*         Tant qu'il s'agit de nombres assez petits, il est possible de trouver les valeurs de et de nombreux mathématiciens établirent des tables de

*    La plus connue fut celle de D. N. Lehmer, jusqu'à 10 006 721.

*    La plus incroyable fut celle de Kulik (terminée en 1867) donnant tous les facteurs premiers jusqu'à 100 330 200, les nombres premiers inclus, évidemment.

 

 

*         Vers 1870, Meissel développe une méthode astucieuse pour calculer , bien au delà des valeurs connues des premiers. En 1885, il calcule , enfin presque, avec une petite erreur de calcul.

 

*         Sa méthode est simplifiée par D. H. Lehmer en 1959 et ensuite améliorée en utilisant une technique de crible par Lagarias, Miller et Odlyzko. Ils ont trouvé .

 

*         En 1994, Deléglise et Rivat améliorent encore la méthode et trouvent  et .

 

*         Deléglise continue les perfectionnements et arrive à  et plus en 1996.

 

 

 

 

Fonction de compte de Legendre – Texte écrit par Joseph Pasquier

 

  

 

 

Suite

*    Table de Pi(n)

*    Fonction Pi (n)

*    Dénombrement & Table pi (n) 

*    Le théorème des nombres premiers: valeur de pi (n)

*    Méthode de recherche des nombres premiers

*    Analyse des unités et dizaines des  premiers jusqu'à 1 000

*    Quantité de nombres premiers - Historique

Voir

*    Historique des nombres premiers

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Nombres composés

*    Représentation des nombres

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Ératosthène

Site

*    La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/historPi.htm

 

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LES NOMBRES PREMIERS

(théorie analytique moderne des nombres premiers)

Gérard

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Tenenbaum

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Que sais-je?

N° 571

1997

Les nombres premiers

(avec  méthodes algébriques)

Jean

Itard

Que sais-je?

Deuxième édition

1969

Les nombres premiers

Émile

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Que sais-je?

Première édition

1953

Voir Biblio