NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définition et historique

>>> Propriétés

>>> Liste des nombres premiers de Ramanujan

>>> Programmation Maple

 

 

 

 

 

NOMBRES PREMIERS de RAMANUJAN

 

Sorte de statistiques sur la quantité de nombres premiers par tranches de nombres.

Nombre premier tel que la quantité de nombres premiers comprise entre n et n/2 soit  égale à un nombre k donné.

À partir du nombre 29, la quantité de nombres premiers dans la seconde moitié des nombres de 1 à n est supérieure à trois.

 

Anglais: Ramanujan primes

 

Approche

 

Jusqu'à n = 20, il y a huit nombres premiers et quatre de 10 à 20 (seconde moitié).

On s'intéresse à ce cas où k = 4 nombres premiers compris entre n et n/2.

 

On note Pi(n) la fonction qui indique la quantité de nombres premiers jusqu'à n.

 

 

Nombre premier jusqu'à n = 20

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

 

Pi (20 ) = 8

Pi (10, 20) = 4

 

Note: liste des premiers avec Maple

 

En fait, on cherche le nombre n le plus petit tel que tous les nombres premiers plus grands présentent au moins k nombres premiers dans la seconde moitié des nombres.

Dans la liste ci-contre, on marque en rouge les cas où k est 4 ou plus.

À partir le 29e, on a k = 4 ou plus. Le nombre 29 est un nombre premier de Ramanujan.

 

 

Quantité de premiers dans la seconde moitié pour n de 1 à 40

 

    0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2,

1, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 4,

4, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 4,

4, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 4 …

 

Définition et historique

 

Avec Pi (n) = quantité k de nombres premiers entre 1 et n  et Pi (n/2), celle entre 1 et n/2.

 

La quantité k de nombres premiers dans la seconde moitié de l'intervalle jusqu'à n est bornée inférieurement.

Cette borne inférieure est le nombre premier de Ramanujan de rang k. 

Du fait de la condition "minimum", ce nombre est automatiquement un nombre premier.

 

 

Formulation

 

 

 

Exemple

 

À partir de n = 29, on trouvera toujours quatre nombres premiers, au moins, dans la seconde moitié des nombres de 1 à n.

Alors R(4) = 29.

 

Postulat de Bertrand (1845)

Démontré par Tchebychev (1852), démonstration plus simple par Ramanujan (1919)  puis par Paul Erdös (1932)

À l'occasion de cette démonstration, Ramanujan publia le résultat figurant sur cette page.

 

 

Postulat de Bertrand ou
Théorème de Tchebychev

Entre n et 2n, il existe toujours un nombre premier.

 

C'est un cas particulier pour k = 2 du calcul des nombres premiers de Ramanujan.

 

Anglais (d'après Jonathan Sondow)

 

Propriétés

 

Un nombre de Ramanujan de rang k est situé entre les premiers de rangs 2k et 3k.

 

En 2011, Sondow, Nicholson, and Noe ont démontré que R(k) ≤ 41/47 P(3k).

 

 

 

Exemple

R(4) = 29 compris entre P(8) et P(12):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Un nombre de Ramanujan de rang k est situé entre ces deux valeurs en logarithmes.

 

 

Exemple

R(4) = 29 compris
8 ln(8) = 16, 63…  et 16 ln(16) = 44,36…

Pour k très grand (tendant vers l'infini).

La convergence est très lente comme le montrent les exemples.

Cette propriété est directement déduite du théorème des nombres premiers.

 

 

Exemple

R(4) = 29  et 8 ln(4) = 11,09…

R(99) = 1 429 et  198 ln(99) = 909,83…

   

Approximation de R(k) pour k de 1 à 1000.

 

Avec k = 2,216

Exemple

R(4) = 29  et  calcul: 28

R(99) = 1 429 et calcul: 1 402

Jusqu'à n = 19 000

46% des nombres premiers sont aussi Ramanujan.

 

 

Liste des nombres premiers de Ramanujan

Lecture

 

k = 04,  R = 29

k = 21,  R = 233

 

À partir du nombre 233, toutes les secondes moitiés des nombres comprennent au moins 21 nombres premiers.

 

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

2

11

17

29

41

47

59

67

71

1

97

101

107

127

149

151

167

179

181

227

2

229

233

239

241

263

269

281

307

311

347

3

349

367

373

401

409

419

431

433

439

461

4

487

491

503

569

571

587

593

599

601

607

5

641

643

647

653

659

677

719

727

739

751

6

769

809

821

823

827

853

857

881

937

941

7

947

967

983

1009

1019

1021

1031

1049

1051

1061

8

1063

1087

1091

1097

1103

1151

1163

1187

1217

1229

9

1249

1277

1289

1297

1301

1367

1373

1423

1427

1429

   

 

Programmation Maple

 

Commentaire

Retourne la liste des nombres premiers de Ramanujan jusqu'à n (ici n = 100).

 

Réinitialisation générale et appel aux logiciels de théorie des nombres pour le calcul de la fonction Pi(n).

Déclaration de la liste L qui recevra Pi(n) – Pi(n/2).

Première boucle de remplissage de la liste L pour n de 1 à 100.

 

Déclaration de la liste R qui recevra les premiers de Ramanujan pour k de 1 à 10.

Les indicateurs t et tm servent à mémoriser le passage à la valeur k ou plus dans la liste L.

Pour chaque valeur de k, exploration de la liste L.

L'indicateur t crée un "signal' qui vaut 1 chaque fois que k est au moins 4.

L'indicateur tm garde la mémoire du t précédent.

 

Si on conserve t = 1 sans jamais revoir de tm à 0, alors la valeur de i (équivalente à n) est placée dans R.

 

En bleu, la liste établie selon k de 1 à 10.

 

 

Avec ce programme, il est facile d'établir toute autre statistique.

Ici avec la quantité de nombres premiers dans le dernier tiers, puis le dernier décile.

Nombre premiers généralisés de Ramanujan dit k-premiers de Ramanujan.

  

Voir ProgrammationIndex  / Programmation de cette recherche en Python, Java, C++ et C# par GeeksforGeeks

 

 

 

Suite

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*         Accès aux nombres cités sur cette page

Sites

*           Ramanujan Prime – Wolfram MathWorld

*         OEIS A104272 – Ramanujan primes R_n: a(n) is the smallest number such that if x >= a(n), then pi(x) - pi(x/2) >= n, where pi(x) is the number of primes <= x

*         OEIS A162996 - a(n) = Round(kn * (log(kn)+1)), with k = 2.216 as an approximation of R_n = n-th Ramanujan prime

*         OEIS A164952Nombre 3-premier de Ramanujan, en considérant le dernier tiers

*         Ramanujan Primes and Bertrand's Postulate par Jonathan Sondow

*         Ramanujan primes – OEIS – Toutes les suites se rapportant à ce sujet

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