Les types de nombres en bref

Sometimes mathematics is moved forward by the discovery of new formulas and solutions to problems. However, sometimes mathematics grows by adding new kinds of numbers to the number system.

In the early days of mathematics, it was thought that whole numbers were the only kind that existed. Sure, there were fractions, but fractions are merely ratios of whole numbers. It was thought that every possible number could be written in terms of whole numbers. These numbers were called rational numbers because they could be written as a ratio.

There is a story about a Greek philosopher, Hippasus who discovered, roughly 2500 years ago, that certain numbers (specifically the square root of two) could not be written in terms of ratios at all. In other words, it was an irrational number. The story goes that he was on a ship with some Pythagoreans (some of the greatest mathematicians of the time). He showed them his proof and it so outraged them that they threw him overboard.

Parfois, les mathématiques progressent du fait la découverte de nouvelles formules et de nouvelles solutions à des problèmes. Mais, parfois, les mathématiques se développent en ajoutant de nouveaux types de nombres à ceux existants.

Dans les premiers temps des mathématiques, on pensait que les nombres entiers étaient les seuls qui existaient. Bien sûr, il y avait des fractions, mais les fractions ne sont que des rapports de nombres entiers. On pensait que chaque nombre possible pouvait être écrit en termes de nombres entiers. Ces nombres étaient appelés nombres rationnels parce qu'ils pouvaient être écrits sous forme de rapport.

Une histoire existe à propos d'un philosophe grec, Hippase, qui a découvert, il y a environ 2500 ans, que certains nombres (en particulier la racine carrée de 2) ne pouvaient pas du tout être écrits en termes de ratios. En d'autres termes, c'était des nombres irrationnels. L'histoire raconte qu'il était sur un bateau avec des Pythagoriciens (certains des plus grands mathématiciens de l'époque). Il leur a montré sa preuve et cela les a tellement indignés qu'ils l'ont jeté par-dessus bord.

However, while Hippasus himself did not survive, the irrational numbers did. In fact, eventually we learned that the irrational numbers are actually far more numerous that the rational numbers! The rational numbers are tiny islands in a sea of irrationals.

Irrational numbers, if you think about them in decimal terms, are numbers that have an infinite number of digits after the decimal that do not repeat. Many numbers do repeat. For instance, 1/13 has an infinite decimal expansion, 0.076923… , but those digits keep repeating over and over again. However, the square root of two doesn’t have any such repetitive elements.

So then, if you combine the rational numbers and the irrational numbers, we have numbers that have every number of decimals, every repeating set of decimals, and even those with an infinite number of non-repeating decimal points. Today, these are known as the “real” numbers.

Cependant, si Hippase n'a pas survécu, les chiffres irrationnels eux sont restés. En fait, nous avons finalement appris que les nombres irrationnels sont en fait beaucoup plus nombreux que les nombres rationnels ! Les nombres rationnels sont de minuscules îles dans une mer d'irrationnels.

Les nombres irrationnels, si vous pensez à eux en termes décimaux, sont des nombres qui ont une quantité infinie de nombres après la décimale qui ne se répètent pas. De nombreux nombres ont des chiffres qui se répètent. Par exemple, 1/13 a une expansion décimale infinie: 0,076923…, mais ces chiffres se répètent encore et encore. Cependant, la racine carrée de deux n’a pas une telle structure répétitive.

Donc, si on combine les nombres rationnels et les nombres irrationnels, on a des nombres qui ont toutes les décimales, tous les groupes répétitifs de décimales, et même ceux avec une quantité infinie de nombres décimaux non répétitifs. Aujourd'hui, on les appelle les nombres réels.

That sounds like all the numbers, doesn’t it? Well, as a matter of fact, no. It turns out that there are even more numbers that we need to solve even simple mathematical equations.

Take the equation x² = -1. What is the answer? Does it have one? Well, since every positive number that is squared has a positive answer, and every negative number that is squared has a positive answer, it looks like this equation doesn’t have an answer. Or does it? This is where the complex numbers come in.

The complex numbers can be thought of as two dimensional numbers. Normally we think of a number as a point along a line, the number line. It goes from left (negative) to the right (positive). What if, however, instead of all of the numbers being on the line, some of the numbers were above and below the line? That image gives you the complex numbers. Complex numbers have two components. The first part, known as the real part, tells you how far to the right or the left on the number line you should go to find the number. The imaginary part tells you how far up or down you should go to find the number.

So, it turns out that there are no numbers on the number line whose square is -1, but there is in fact a number that is off of the number line whose square is -1. This is i, the imaginary unit, whose multiples tells how far up and down off of the number line a number should go.

C'est comme si on avait tous les chiffres, n'est-ce pas ? Eh bien, en fait, non. Il s'avère qu'il y a encore plus de nombres dont nous avons besoin pour résoudre même des équations mathématiques simples.

Prenez l'équation x² = -1. Quelle est la réponse? Est-ce qu'il en existe une ? Eh bien, puisque chaque nombre positif au carré a une réponse positive et que chaque nombre négatif au carré a une réponse positive, il semble que cette équation n’a pas de réponse. Ou si tout de même ? C'est là que les nombres complexes entrent en jeu.

Les nombres complexes peuvent être considérés comme des nombres à deux dimensions. Normalement, nous considérons un nombre comme un point le long d'une ligne de la droite des réels. Il va de gauche (négatif) à droite (positif). Et si, cependant, au lieu que tous les nombres soient sur la ligne, certains des nombres se trouvaient au-dessus et au-dessous de la ligne? Cette image vous donne les nombres complexes. Les nombres complexes ont deux composants. La première partie, connue sous le nom de partie réelle, vous indique à quelle distance à droite ou à gauche sur la droite numérique vous devez aller pour trouver le numéro. La partie imaginaire vous indique jusqu'où vous devez aller vers le haut ou vers le bas pour trouver le nombre.

Donc, il s'avère qu'il n'y a pas de nombres sur la droite des réels dont le carré est -1, mais il y a en fait un nombre qui est hors de la droite numérique dont le carré est -1. C'est i, l'unité imaginaire, dont les multiples indiquent jusqu'où un nombre doit monter et descendre de la droite numérique.

Beyond complex numbers, the concept of multiple numbers to represent a single value is generalized into matrices. A matrix is a set of numbers in a grid that represent a collection of values acting together.

That is usually as far as most undergraduate mathematics goes. However, there is one more useful extension to the concept of number that I think is extremely helpful, and also often overlooked: the hyperreal numbers.

Hyperreal numbers represent infinities and their reciprocals (known as infinitesimals). There are many different mathematical ways of dealing with infinities but the hyperreal have an advantage in that you can deal with the infinitely large and infinitely small almost precisely the way that you deal with ordinary numbers.

The problem that the real numbers have with infinities is that there is usually only one value for infinity:

However, this symbol really just means “the value is outside of the scope that are considered for real numbers.” In other words, you can’t manipulate it because it doesn’t have a precise meaning.

Of course, with infinities, “precise” meanings are hard to come by. It’s hard to point to anything concrete as “infinity.” The hyperreal numbers, instead of trying to establish a precise meaning for an infinity symbol, simply assign a “landmark” value for an infinity and infinitesimal.

I usually use the symbol to represent a landmark infinity (ω) and epsilon (ε) to represent the infinitesimal that is 1/ω. That is, I can’t tell you exactly how big ω is, but I can tell you that it is half as big as 2ω and just barely bigger than ω – 1.

Au-delà des nombres complexes, le concept de nombres multiples pour représenter une seule valeur est généralisé en matrices. Une matrice est un ensemble de nombres dans une grille qui représentent une collection de valeurs agissant ensemble.

C'est généralement jusque là que vont la plupart des mathématiques de terminale. Cependant, il existe une autre extension utile du concept de nombre qui, à mon avis, est extrêmement utile, et souvent négligée: les nombres hyperréels.

Les nombres hyperréels représentent les infinis et leurs réciproques (appelés infinitésimaux). Il existe de nombreuses manières mathématiques différentes de traiter l'infini, mais l'hyperréel a l'avantage de pouvoir traiter l'infiniment grand et l'infiniment petit presque exactement comme vous le faites avec les nombres ordinaires.

Le problème des nombres réels avec l'infini est qu'il n'y a généralement qu'une seule valeur pour l'infini:

Cependant, ce symbole signifie simplement "la valeur est en dehors de la portée prise en compte pour les nombres réels." En d’autres termes, vous ne pouvez pas le manipuler car il n’a pas de signification précise.

Bien sûr, avec l'infini, les significations «précises» sont difficiles à trouver. Il est difficile de désigner quoi que ce soit de concret comme «infini». Les nombres hyperréels, au lieu d'essayer d'établir une signification précise pour un symbole de l'infini, attribuent simplement une valeur «repère» pour un infini et un infinitésimal.

J'utilise généralement ce symbole (ω) pour représenter ce repère de l'infinité et epsilon (ε) pour représenter celui des infinitésimaux qui est 1/ω. Autrement dit, je ne peux pas vous dire exactement quelle est la taille de ω, mais je peux vous dire qu'il est deux fois moins grand que 2ω et à peine plus grand que ω – 1.

Likewise, ε represents something infinitely small. Again, I can’t tell you exactly how small, but it is smaller than 2ε and bigger than ε/2.

So what’s the advantage of hyperreal numbers? The advantage is that, when using hyperreal numbers, many, many difficult subjects in mathematics turn into simple applications of algebra. Limits, calculus, infinite series (both convergent and divergent), and a host of other difficult problems wind up being rather trivial extensions of what we are already teaching students with algebra. What was difficult to express with real numbers becomes almost trivial once you expand your concept of numbers sufficiently.

De même, ε représente quelque chose d'infiniment petit. Encore une fois, je ne peux pas vous dire exactement à quel point il est petit, mais il est plus petit que 2ε et plus grand que ε / 2.

Alors, quel est l’avantage des nombres hyperréels? L'avantage est que, lors de l'utilisation de nombres hyperréels, de nombreuses matières difficiles en mathématiques se transforment en applications simples de l'algèbre. Les limites, le calcul, les séries infinies (à la fois convergentes et divergentes) et une foule d'autres problèmes difficiles finissent par être des extensions assez triviales de ce que nous enseignons déjà aux étudiants avec l'algèbre. Ce qui était difficile à exprimer avec des nombres réels devient presque trivial une fois que vous avez suffisamment développé le concept de nombres.

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Texte anglais d'après: Can We Add New Numbers to Mathematics? – Jonathan Bartlett – Mind Matters News – 18/01/2021

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