NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés

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Différence carrée

 

Sommaire de cette page

>>> Deux nombres

>>> Trois nombres

>>> Notation et vocabulaire

>>> Quatre nombres

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Différences entre nombres = Carrés

 

En 1682, Michel Rolle résout le problème des quatre nombres proposé par Jacques Ozanam dans le Journal des savants. Ozanam pensait le problème insoluble car nécessitant des nombres de plus de 50 chiffres. Rolle trouve la solution avec des nombres à sept chiffres.

 

Approchons ce problème en cherchant des configurations du même type. Quels sont les n nombres dont les différences mutuelles sont des carrés?

 

N² – N

Peu de nombres sont tels que n² - n se terminent par trois zéros:

    376² –    376 =      141 000

    625² –    625 =      390 000

9 376² – 9 376 = 87 900 000

Voir Carrés qui se terminent par eux-mêmes

 

 

 

Deux nombres

 

Problème

Trouvez deux nombres a et b tels que:

 

b – a = n²

b + a = x²

 

Le premier exemple ci-contre donne:

5 + 4 = 9 = 3²

5 – 4 = 1 = 1²

 

Propriété

Notez le motif  qui se répète:

*    Nombres pairs pour a;

*    Carrés des différences et des nombres successifs; et

*    Écart de 2 entre les nombres au carré.

 

Une manière particulière de redécouvrir les identités remarquables.

 

Exemples

 

Explications

a = 2k           = 2 x 2

b = k² + 1    = 2² + 1 = 5

b – a = k² -2k +1 = (k – 1)²

b + a = k² + 2k + 1 = (k + 1)²

 

Pour tout k, les deux nombres a = 2k et b = k²  1 ont une somme et une différence carrées.

 

 

 

Il existe d'autres possibilités en conservant une différence égale à 1.

 

Le premier à gauche illustre les cas où:

a = k; b = a + 1² = k + 1

a + b = 2k + 1 = x²

qui se vérifie pour  k = 4, 12, 24, 40, 60 … qui donne x = 3, 5, 7, 9, 11, 13 …

En fait, pour tout x impair

 

 

Pour tout x (somme des carrés) = 2k + 1, la somme et la différence de a = k et b = k + 1  sont des carrés.

 

 

 

Différence égale à 2², 3² et plus

 

Pour b – a = 2²:

a = k; b = a + 2²

a + b = 2(a + 2) = x²

Qui se vérifie pour a = 6, 16, 30, 42 …  qui donne x = 4, 6, 8, 10 …

 

On peut mener le même raisonnement pour tous les carrés suivants.

 

Il existe uneinfinité de ces motis en: a + b et b – a carrés.

 

 

 

 

Trois nombres

 

Triplet simple

 

Trouvez trois nombres a, b et c tels que:

 

b – a = n²

c – b = m²

c – a = p²

 

Identifiez les cas ou les sommes sont également des carrés (vert)

 

Le premier exemple ci-contre donne:

17 – 1 = 4²

26 – 17 = 3²

26 – 1 = 5²

 

 

Triplets incomplets (une ou deux sommes sont des carrés)

 

Trois des exemples montrent une ou deux sommes carrées (vert).

Le premier triplet pour lequel deux sommes sont également des carrés est (en bas à droite):

(64, 80, 89)

 

Le suivant, s'il existe, est très grand.

 

Exemples

 

Remarquez bien que l'on passe du cas 1 au cas 4 (motif 4², 3², 4²) en ajoutant 63 aux quatre nombres. De même du cas 2 au cas 3 (motif 3², 4², 5²) en ajoutant 7.

 

Propriété

Vous avez reconnus les triplets de Pythagore.  Ici le plus célèbre en (3, 4, 5). Les triplets simples sont en nombre infini.

 

 

 

 

Triplets complets (les trois sommes sont également des carrés)

 

Le plus petit triplet complet est composé de nombres à six chiffres.

 

En bleu, différences et vert, les sommes.

 

 

 

 

 

 

Les quatre plus petits triplets (le deuxième fut découvert par Euler)

 

 

 

 

Notation et vocabulaire

Les quatre nombres à trouver sont a, b, c et d.

Quadruplet simple: les différences sur le périmètre sont des carrés.

Quadruplet complet: les différences sur les diagonales sont des carrés.

Super quadruplet: certaines sommes sont des carrés.

 

 

Le problème d'Ozanam-Rolle consiste à trouver un super quadruplet:

 

Trouver quatre nombres tels que la différence entre paires est un carré et, en plus, la somme des trois premiers est également un carré.

 

 

 

 

Jacques Ozanam (1640-1717)

Né dans une famille aisée. Après des études religieuses forcées par son père, à sa mort, il se consacre aux mathématiques.

1655 – À 15 ans, il écrit son premier traité.

Il donne des cours de maths à Lyon puis à Paris.

1670 – Publie des tables de logarithmes et de trigonométrie, les plus précises de l'époque.

1690 – Dictionnaire des mathématiques.

1693 – Cours de mathématiques en cinq volumes.

1694 – Récréations mathématiques et physiques.

1707 – Membre de l'Académie des sciences (créée en 1666 par Colbert).

Il a écrit au moins quatorze livres de maths. Il aimait à poser des colles à ses contemporains dont Leibniz (1646-1716).

Voir Contemporains / Énigme des cailloux / Jeu de 100 /

Chèvre, chou et loup / Les tonneaux / Les ouvriers dans les champs / Le nombre treize

 

 

 

 

Quatre nombres

 

Quadruplet simple

Trouvez trois nombres a, b, c et d tels que:

b – a = n²

c – b = m²

d – c = p²

d – a = q²

 

Les carrés se trouvent sur le périmètre. Il y en a une infinité.

 

 

Quadruplet complet

Le quadruplet est complet si les deux différences sur les diagonales sont aussi des carrés

b – d = r²

c – a = s²

 

Ils sont très rares! Imposer une somme carrée est un véritable défi. Michel Rolle à trouver un tel quadruplet dont les quatre nombres ont sept chiffres.

Il a mis le problème en équation avec des polynômes de degré élevé. Puis il a encadré les racines en utilisant la méthode cascade de son invention.

Aujourd'hui la résolution formelle fait appel aux fonctions elliptiques

 

 

 

Exemples de quadruplets simples

 

 

 

Ces quatre exemples sont construit sur le même motif de départ (1, 2², 2). Ajouter la même constante à chacun des quatre nombres conserve le quadruplet.

 

 

 

Quadruplet incomplet: périmètre + une diagonale

 

 

Quadruplet incomplet: deux diagonales + deux ou trois côtés

 

 

 

Bilan

Malgré mes recherches, je ne connais pas le quadruplet trouvé par Rolle, ni même aucun super quadruplets.

Notez bien que le quadruplet est constitué en fait de quatre triplets de Pythagore emboités. De plus la somme des carrés du périmètre est égale à la somme des carrés des diagonales. Est-ce une piste de recherche?

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Les nombres carrés

*    Propriétés des carrés

*    Exploration sur carrés

*    Écarts entre carrés et initiation aux dérivées

*    Couples de différence de carrés

*    Différence des carrés de nombres consécutifs

Débutants

*    Découverte Junior du calcul mental des carrés (fichier .ppt)

Voir

*    Calcul mental des carrés

*    Calcul mental des cubes

*    Partition & Addition

*    Racine carrée

*    Somme de cubes de nombres successifs

*    Système décimal – Unités

Livre sur Internet

*    Recreations in Mathematics and Natural Philosophy ... Par Jacques Ozanam, Jean Etienne Montucla, Charles Hutton  - 1814

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FIGURE/CarDiffe.htm