NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Général – Pair et Impair

>>> Sommes d'impairs consécutifs

>>> Sommes d'impairs quelconques

 

 

Partitions des nombres impairs

 

Partitions des nombres impairs avec des nombres impairs, consécutifs ou non. Propriétés et exemples.

 

 

Général – Pair et Impair

 

Nombres consécutifs

On sait qu'un entier n est une somme de k nombres entiers consécutifs seulement si n est divisible par k.

Ex: (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) = 5n

 

Avec n impair  = k . h, si h est impair alors n est la somme de k nombres consécutifs autour de h.

Ex: 9 = 3 x 3, somme de trois consécutifs autour de 3.

 

Avec n pair  = k . h, si h est pair alors n est la somme de k nombres consécutifs autour de h.

Ex: 20 = 5 x 4, somme de cinq consécutifs autour de 4.

  

 

Exemples de sommes de consécutifs

 

Nombres en progression arithmétique

Lorsqu'un nombre est somme de k nombres consécutifs, il l'est aussi de k nombres en progression arithmétique autour du même nombre (10 pour l'exemple).

 

 

 

Sommes d'impairs consécutifs

 

Un nombre impair ne peut être la somme que d'une quantité impaire de nombres impairs.

 

 

3 + 5 = 8 nombre pair

3 + 5 + 7 = 15 nombre impair

 

(2k+1) + (2h+1) = 2(k + h + 1)                   pair

(2k+1) + (2h+1) +  (2j+1) = 2(k + h + j) + 3   impair

  

 

Théorème

Seuls les nombres impairs divisibles par k sont sommes de k impairs consécutifs; le nombre central est égal au quotient.

 

 Seuls les nombres pairs divisibles par k sont sommes de k pairs consécutifs; le nombre central est égal au quotient.

 

 

Exemple: 45 = 5 x 9: il est la somme de cinq nombres impairs consécutifs autour de 9:  
5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45.

 

 

Exemple: 40 = 5 x 8: il est la somme de cinq nombres pairs consécutifs autour de 8:  
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40.

 

Exemple pour le nombre 45: toutes les partitions en sommes d'impairs

  

Voir Nombre 45 / Brève 517

  

 

 

Sommes d'impairs quelconques

 

Avec partitions impliquant des nombres impairs quelconques, mais distincts, on a les premières partitions en trois nombres impairs selon ce tableau:

 

Il y a seulement 16% des nombres impairs, non divisibles par 3, sommes de trois impairs quelconques.

En revanche, la quantité de partitions pour chacun augmente rapidement. Ainsi 95 offre 44 telles partitions: 95 = 3+5+87 = 3+9+83 = 3+13+79 = 3+17+75 + … + 27+29+39 = 27+33+35.

 

 

Les premières sommes

  

 

Liste des nombres impairs, non divisibles par 3, sommes de trois impairs

 

19, 23, 31, 35, 43, 47, 55, 59, 67, 71, 79, 83, 91, 95, 103, 107, 115, 119, 127, 131, 139, 143, 151, 155, 163, 167, 175, 179, 187, 191, 199, 203, 211, 215, 223, 227, 235, 239, 247, 251, 259, 263, 271, 275, 283, 287, 295, 299, 307, 311, 319, 323, 331, 335, 343, 347, 355, 359, 367, 371, 379, 383, 391, 395, 403, 407, 415, 419, 427, 431, 439, 443, 451, 455, 463, 467, 475, 479, 487, 491, 499, 

 

Ce sont aussi les nombres égaux à 7 ou 11 mod 12 (sans 7 et 11).  

Sur le tableau en haut, les multiples de 12; les deux lignes suivantes montrent l'ajout de 7 ou 11.

On y retrouve les nombres de la liste ci-dessus.

19 = 12 + 7 et 23 = 12 + 11, etc.

      

 

Théorème

Tout nombre égal à 7 ou 11 mod 12 est décomposable en sommes de trois nombres impairs. Ce sont les seuls, à l'exception des nombres impairs divisibles par 3 qui, eux, sont sommes d'impairs consécutifs.

 

 

 

 

 

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