NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

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TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

ANALYSE

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Calculs simples

Angles orientés

Pi/5 = 36°

Arctan

Calculs

Cosécante

Pi/2 =  90°

Cours première

Exemple expliqué

Équations

Première

 

Sommaire de cette page

 

>>> Exercice 1

>>> Technique opératoire: équations

>>> Exercice 2

>>> Exercice 3

>>>  Égalité primordiale

>>> Technique opératoire: racines

>>> Sinus² + Cosinus²  = 1

 

 

 

 

 

 

TRIGONOMÉTRIE – Équations

 

Je connais bien mon cours de première, je suis familiarisé avec le cercle trigonométrique et je viens de voir une équation simple en détail, alors je peux attaquer cette page d'exemples un peu plus compliqués.

Néanmoins, je voudrais me rassurer tout au long des calculs. Montrez-moi la technique opératoire en détail.

                                                                                                                                          

 

 

Exercice 1

 

Résoudre:   

 

2 sin² (x) + 5 sin (x) – 3 = 0

Changement de variable pour y voir plus clair.

 

y = sin (x)

 

2y² + 5y – 3 = 0

 

Équation du deuxième degré.

ay² + by + c = 0

a = 2, b = 5 et c = –3

Discriminant.

d = b² – 4ac

d = 25 – (4 x 2 x ( – 3))

   = 25 + 24 = 49 = 7²

Solutions en y.

 

 

 

Solutions en x.

La valeur absolue de y', supérieure à 1, ne correspond pas à un sinus.

 

 

Technique opératoire avec les équations

 

En premier: réflexe identités remarquables

 

sin² A – 4cos² A = ?

a² – b²  = (a + b) (a – b)

sin² A – 4cos² A = (sinA + 2cosA) (sinA – 2cos A)

Etc. selon le problème posé

 

sin² X – 2sin X + 1 = 0

a² – 2ab + b² = (a – b)²

sin² X – 2sin X + 1 = (sin X – 1)² = 0

sin X – 1 = 0

sinX = 1

X = 0 + k

 

 

En second: on cherche les racines évidentes

sin² Y – 3 sin Y + 2 = 0

avec x = sin Y

x² – 3x + 2 = 0

 

Racines évidentes: 1 car: 1 – 3 + 2 = 0

                                & 2 car: 4 – 6 + 2 = 0

 

Se souvenir qu'un polynôme est exprimable en fonction de ses racines:

x² – 3x + 2 =  (x – 1) (x – 2) 

Puis retour à grand Y en écartant la racine 2 qui ne correspond pas à un sinus. Soit x = sin Y = 1   =>  Y =

 

Plus généralement si P est le produit des racines et S leur somme:

 

x² – Sx + P =  (x – x1) (x – x2)

 

P = 1 x 2 = 2 et

S = 1 + 2 = 3

 

x² – 3x + 2 =  (x – 1) (x – 2)

 

Essayons  de deviner les solutions en utilisant cette technique:

x² – 8x + 15 = 0

 

Produit: 15 = 3 x 5 (ou 1 x 15, mais 1 n'est visiblement pas racine)

Somme:  8 = 3 + 5 (ça marche)

 

x² – 8x + 15 = (x – 3) (x – 5) = 0

Solutions: x = 3 et x' = 5.

 

 

 

 

Exercice 2

*    Résoudre

*    On considère (Pi – t) comme un tout dans sa parenthèse.
Ne pas oublier la deuxième solution.

*    Mettons tous les Pi ensemble.
En final, on n'oublie pas que l'angle est défini à un nombre de tours près.

 

*    Deuxième solution.

 

*    Remarque: nous aurions pu nous rendre compte tout de suite que:

*    Une simple lecture sur le cercle trigonométrique donne la réponse.

Voir Ce cas expliqué en détail

 

 

 

Exercice 3

*    Résoudre

*    On considère (Pi – t) comme un tout dans sa parenthèse.

*    Suppression de la racine au dénominateur avec l'aide d'une fraction unitaire.

*    Solutions.

*    Calcul de la première solution.

*    Calcul de la seconde solution.

*    Calcul de l'angle principal en retirant 2 Pi.

*    Remarque: nous aurions pu nous rendre compte tout de suite que

 

*    Une simple lecture sur le cercle trigonométrique donne la réponse.

 

 

 

Égalité primordiale

 

*    Du fait de la construction du sinus et du cosinus formant un triangle rectangle.

 

*    Exemple d'application: nous connaissons le cosinus d'un angle et nous voulons en déduire son sinus.
Note: Pi / 12 = 180°/ 12 = 15°

*    Application de notre égalité.

*    Calculs et placement des parenthèses.

 

 

 

*    Calcul du carré au numérateur

Je ne suis pas sûr de mon identité remarquable car je suis impressionné par les racines. Je refais le calcul complet.

 

Je me souviens de la définition de la racine carrée qui multipliée par elle-même redonne le nombre: .

Prenez  pour vous en convaincre.

 

Je pourrais faire .

Prenez  pour vous en convaincre.

Mais je suspecte que je n'en ai pas besoin pour la suite.

 

 

 

 

 

 

 

 

*    Reprise du calcul du sinus.

 

*    N'oublions pas que cette expression est un carré. il faut en trouver la racine.

 

 

 

 

 

 

 

*    C'est le développement du carré qui avait fait apparaître le produit de racine de 6 et de racine de 2.

 

*    Cette puce à l'oreille, nous suggère de faire machine arrière et ainsi retrouver un carré.

 

 

 

 

*    Disposant d'un carré, nous pouvons en prendre la racine.

Voir Autres égalités fondamentales

 

 

Remarque de calcul sur cos² + sin² = 1

 

Avec un peu d'habitude, on se souvient que:

 

 

À mettre en relation avec la formule classique avec:

 

Or, la forme donnée en cosinus est bien conforme à cette relation

 

Conclusion: le deuxième terme cherché (le sinus) est bien le conjugué du premier.

 

On retient:

 

 

 

 

 

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    TrigonométrieIntroduction

*    Trigonométrie – Tables

Voir

*    Angles

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

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