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Angles

ANGLES

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Angles

 

Bases

 

Géométrie

 

Première

Angles

Angles orientés

 Exemple de calculs

 

Sommaire de cette page

>>> Angles orientés

>>> Propriétés essentielles

>>> Exercice avec les angles orientés

>>> Triangles

>>>  Quadrilatères

 

 

 

 

Les ANGLES orientés

 

Généralisation de la notion d'angles. Mesure de l'angle entre deux segments de droites quelconques. Comparaison à distance. Idée fort utile pour résoudre systématiquement des problèmes liés aux angles, comme le calcul de la somme des angles dans un polygone.

Les angles sont définis par des vecteurs. Le sens de parcours de l'angle importe. Cette notion va trouver son plein emploi en trigonométrie.

 

 

 

 

 

Angles orientés

 

Définition

 

*    Nous avions l'habitude de nommer un angle par:

*  une lettre (ici alpha)  en algèbre;

*  en géométrie, nous avions besoin de bien signaler qu'il s'agit d'un angle;

*  en trigonométrie, nous allions tenir compte de son orientation:

*    positif pour le sens antihoraire, et

*    négatif pour le sens horaire.

 

Évidemment, l'angle n'est défini que si les vecteurs AB ou AC ne sont pas nuls.

 

 

Pourquoi?

 

*      Essentiellement pour une généralisation de la notion d'angle sans avoir besoin du sommet de l'angle.

 

Soit deux vecteurs non nuls:  et trois points ABC tels que , on appelle angle orienté  le couple de ces deux vecteurs.

 

 

 

Sans ambiguïté, on omet le chapeau.

Certains séparent les vecteurs avec un;

 

Unités

 

*    Les angles se mesurent en radians:

 

*    Ces quelques exemples de conversions montrent comment s'y prendre en utilisant le classique produit en croix.

 

Valeurs

 

*    Il existe trois types de valeurs pour la mesure d'un angle. Pour tous on dessine un cercle de rayon unité comme guide (cercle trigonométrique).  

 

 

*    L'angle principal est celui qui précise la valeur entre .
Les crochest veulent dire qu'en C on donne la valeur Pi et non –Pi.

 

 

 

Propriétés essentielles

 

Colinéaires

Parallèles

Orthogonaux

Bissectrice


 

 

*    Si l'angle vaut  les deux vecteurs sont parallèles.

*    Trois points distincts A, B et C sont alignés si

*    Si l'angle vaut  les deux vecteurs sont orthogonaux.

*    Si  alors AM est la bissectrice de l'angle .

 

Égalités

 

 

(toutes ces valeurs sont à 2k Pi près)

 

Addition

 

 

Relation de Chasles

 

 

 

Voir Je débute et je voudrais des explications pas à pas

 

 

 

Voici d'autres exemples de calculs classiques

 

Exercice avec les angles orientés

Problème 1

Exprimez l'angle
Son sinus et son cosinus.

 

Solution

 

Problème 2

Exprimez l'angle
Son sinus et son cosinus.

 

Approche

 

La parallèle à CD en AB montre que notre angle vaut – 30° = – Pi/6.

 

 

 

Figure

 

ABCD est un carré, et

ADE est un triangle équilatéral.


 

 

Dans un triangle équilatéral, les trois angles valent 60° = Pi/3

 

 

Calcul avec la relation de Chasles pour les angles

On se sert de A comme origine des angles.

 

 

 

 

 

 

 

Triangles

 

*    La relation de Chasles appliquée aux angles orientés est très précieuse.  Nous allons démontre que la somme des angles du triangle est égale à 180° sans pratiquement l'aide de la figure.

 

 

*    Avec Chasles nous allons essayer de partir de A et revenir à A.

 

 

 

 

Tous les angles sont donnés à 2k Pi près.

 

*    Pour cela nous allons utiliser les égalités vues ci-dessus.

 

 

*    En reprenant cela dans notre somme:

 

 

 

 

*    En mettant dans l'ordre qui nous convient pour constituer une chaine, nous en profitons pour éliminer un tour (2Pi):

 

 

*    La relation de Chasles s'applique à cette liste en chaine:

 

 

*    Application de la relation sur les vecteurs colinéaires, l'un opposé à l'autre:

 

 

 

Voir Démonstration géométrique

 

 

 

Quadrilatères – Somme des angles

 

 

Que vaut la somme S des angles du quadrilatère?

 

 

  

 

*    Nous allons utiliser le même procédé que pour le triangle: nous retournons les trois premiers angles orientés:

 

 

*    En reprenant cela dans notre somme et en ordonnant, sachant que 3 Pi équivalent à 1 Pi:

 

 

*    Bilan, tout en restituant le 2k Pi près que nous avons omis par souci de légèreté

 

 

 

Voir Démonstration géométrique

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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