NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

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TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Calculs simples

Angles orientés

Pi/5 = 36°

Arctan

Calculs

Cosécante

Pi/2 =  90°

Cours première

Exemple expliqué

Équations

 

Première

 

Sommaire de cette page

>>> Sinus et cosinus

>>> Cas 1/2

>>> Racine de 3 et hexagone

>>> Racine de 2 et octogone

>>> Technique de calcul avec les racines

>>> Racines exercices

>>> Construction de la table des sinus

>>> Table des valeurs trigonométriques essentielles

>>> Mesure principale d'un angle

>>> Tour du cercle

>>> Évolution des sinus et cosinus

>>> Principe de l'émission radio ou télévision

>>> Cas d'une somme d'angles

 

 

 

 

 

 

TRIGONOMÉTRIE – Cours de Première

 

Revue des notions étudiées en première. Notions également développées sur d'autres pages de ce site qui pourront être visitées comme compléments à la compréhension de ce sujet.  

Page réalisée suite à des cours données à de jeunes élèves de première. Elle comprend également quelques rappels de techniques opératoires.

 

 

 

Le cercle trigonométrique

Vous avez un doute? Vous voulez confirmer votre savoir? N'hésitez pas à revoir rapidement ce qu'est le cercle trigonométrique.

Note: mon expérience me montre que cette révision n'est pas inutile pour une majorité des personnes de classe de première!

 

 

 

  

Sinus et cosinus

 

Pour l'angle t et pour un cercle de rayon unité:

 

*    Le cosinus est à té de l'angle

 (c'est l'équivalent de l'abscisse)

 

 

*    Le sinus est de l'autre côté

(c'est l'équivalent de l'ordonnée)

 

*    On note déjà que, avec Pythagore:

 

Sinus² + Cosinus² = 1

 

Voir Coordonnées

 

 

 

Doublets cousins

Nous connaissons le doublet abscisse et ordonnée en géométrie.

Nous avons maintenant le doublet sinus, cosinus en trigonométrie.

Nous verrons le doublet réel, imaginaire en algèbre des nombres complexes.

Dans les trois cas, nous caractérisons un point M du plan avec deux nombres.

Dans le cas des nombres complexes (notés: a + ib),  a et b sont des nombres réels et i est un symbole représentant la racine carrée imaginaire de  – 1. Une belle astuce qui va se révéler payante pour simplifier de nombreux calculs de trigonométrie, notamment en électronique.

 

 

 

 

Le cas de 1/2

 

*    Dans le cercle de rayon unité, la verticale passant par le milieu de OA coupe le cercle en S; et, l'horizontale passant par le milieu de OB coupe le cercle en T.

*    L'angle AOT mesure Trente degrés et, l'angle AOS mesure Soixante degrés.

 

*    La longueur des traits rouge est égale à 1/2.

*       en vertical c'est le sinus de 30°

*       en horizontal c'est le cosinus de 60°

 

 

 

Remarques importantes

 

*    Je sais facilement dessiner un angle de 30° ou 60° avec les milieux de OA et OB.

 

*    Je retiens absolument cette relation:

cos de 60° = sinus 30° = 1/2

En remarquant que 30° = 90° – 60°

 



 

Je me familiarise avec les radians

 

 

 

 

 

 

Où il est question de racine de 3 avec l'hexagone

 

*    Nous venons de voir que l'angle AOS = 60°. Il y en a bien six pour faire le tour complet (360°).

*    Le triangle OAS est isocèle car deux de ses côtés sont égaux (OA = OS  = 1).

*    Les angles en A et S sont égaux et leur somme vaut 180 – 60 = 120; chacun mesure donc 60°.

*    Le triangle OAS est équilatéral:

OA = OS = AS = 1

 

*    On retrouve le fait que l'on parcourt la circonférence d'un cercle en six fois l'ouverture du compas (le rayon) – Procédé de construction de l'hexagone.

 

*    Le trait rouge (vertical) représente le sinus de l'angle 60°. Un petit coup de Pythagore nous donne racine de 3 sur 2 pour sa longueur.

*    Nous avons la même mesure en horizontal pour le cosinus de 30°.

 

 

 

 

SH² + OH² = OS² = 1

SH² = 1 – (1/2)² = 1 – 1/4 = 3/ 4

 

 

Où il est question de racine de 2 avec l'octogone

*    Nous considérons les bissectrices des angles droits en 0. Les huit angles mesurent 45°.

*    Le triangle AOS est toujours isocèle avec ses deux côtés égaux: (OA = OS  = 1).

*    Les angles en A et S sont égaux et leur somme vaut 180 – 45 = 135; chacun mesure donc 67,5°.

*    La hauteur forme un angle de 45° avec OS en S. Le triangle OSH est isocèle rectangle. SH = OH.

 

SH² + OH² = OS² = 1

2 SH² = 1

 

 

 

Technique de calcul avec les racines carrées

 

Deux racines

Tout d'abord, on n'oublie pas qu'un carré est le produit de deux nombres positifs ou de deux nombres négatifs.

2 x 2 = 4 et ( – 2) x ( – 2) = 4

Cela est vrai, à l'envers, pour les racines carrées: un nombre entier positif possède deux racines carrées:

 

Pas de racine au dénominateur, si c'est possible

On cherche toujours à éliminer les racines au dénominateur. C'est plus facile à visualiser et plus facile à traiter.

 

Si la racine est accompagnée d'une constante, alors il faut utiliser la fraction unitaire formée du conjugué. Voir exercice ci – dessous.

 

 

 

Racines – Exercice

*    Exprimez cette fraction sans radical au dénominateur.

*    Multipliez par la fraction unitaire formée du conjugué (racine plus l'opposé de la constante)

*    Au dénominateur, le produit est transformé en différence de deux carrés; et notre radical a bien disparu

*    Au numérateur, nous devons développer

 

 

*    En reprenant la fraction complète

 

 

 

Construction du tableau des SINUS

 

*    Récapitulons dans un tableau ce que nous avons vu, en nous concentrant sur les sinus dans un premier temps.

*    Notons les sinus (segments verticaux rouges) des angles principaux.

*    Nous savons que Pi représente un angle plat (180°) et que

*       L'angle droit compte Pi/2 radians.

*       Sa moitié: 45° = Pi/4 et

*       Ses tiers donnent:

*      30° = (Pi/2) / 3 = Pi/6 et

*      60° = 2 x (Pi/2) / 3 = 3Pi/6 = Pi/3.

 

*    Les nombres sur la colonne de droite montrent les valeurs du sinus des cinq angles remarquables. Pour construire ces valeurs:

*       compter de 0 à 4 (nombres en rouge),

*       en prendre la racine carrée,

*       diviser par 2 et

*       simplifier certaines fractions.

 



 

 

 

 

Diviser un angle

 

Pi/2 divisé par 3 donne Pi/6. Je le constate bien sur une figure.

Attention pour le calculer! Ne pas appliquer "sauvagement" la règle qui dit que je multiplie par l'inverse de 3.

Le 3 sous la barre de fraction est un nombre entier et non une fraction. Pour devenir une fraction, il faut écrire 3/1, et son inverse est 1/3.

 

On aurait tout aussi bien pu dire: je prends le tiers de Pi/2:

 

 

Les valeurs trigonométriques remarquables

 

Pour mémoriser ce tableau:

*       Un angle de 90° que l'on coupe en deux, créant une symétrie avec l'angle de 45°. Puis en trois, créant les angles de 30° et de 60°. Ce sont les angles les plus utiles. Les autres angles, comme les quarts (22,5° et 67,5°), seront calculés selon les besoins.

*       Pour les sinus: on compte de 0 à 4; on prend la racine carrée; et, on divise par 2.

*       Pour les cosinus, on prend les mêmes valeurs positionnées en sens inverse. L'angle 45 ° étant au milieu, son sinus et son cosinus sont égaux.

 

 

*    La tangente est obtenue en divisant le sinus par le cosinus.

Se souvenir de la technique opératoire avec les racines:

 

 

 

 

 

Mesure principale d'un angle

 

*    Les angles sont comptés positivement dans le sans antihoraire (comme dévisser une vis). Ils sont négatifs en tournant dans le sens horaire (en vissant).

*    La mesure principale d'un angle est comprise entre 0 et + Pi (180°) pour le demi cercle du haut et entre 0 et – Pi (–180°) pour le demi cercle du bas. Bien sûr, +Pi et – Pi représente le même angle.

*    En faisant un tour complet (360° = Pi), on revient au même endroit. En maths, on signale ce fait en disant que l'angle est connu à 2k près.

 

*    Connaissant la valeur d'un angle, toujours l'exprimer selon sa valeur principale. C'est comme les fractions, il faut les simplifier. Ici, on simplifie la vision des angles en les ramenant dans les deux demi – cercles du haut et du bas.

 

Exemples

L'angle 3Pi/2 est manifestement


 

 

 

Modulo enroulé

 

Imaginez un vélodrome avec un anneau de 250 m de long. Ce cycliste sait qu'en dix minutes il fait toujours un peu plus de vingt tours, mais il veut comparer ses records. Tous les jours, lorsque le chrono marque 10 minutes, il note de combien il dépasse: 55 m puis 78 m et aujourd'hui, c'est 105 m. Il vient de battre son record!

Ce cycliste fait un calcul en modulo sans le savoir.

 

 

En trigonométrie, seul l'angle sur le cercle compte. Le nombre tours que pourrait faire cet angle ne nous intéresse pas. Il peut tourner cent fois, mille fois … on s'en fiche!

 

On dit que l'angle est connu à 2k près; on aurait pu dire: modulo 2.

 

Voir Les modulos quotidiens avec l'heure

 

 

 

 

Faire le tour du cercle

 

*    Connaissant le sinus et le cosinus d'un angle dans le premier quadrant (le quart de cercle où les sinus et les cosinus sont positifs), faisons la connaissance des angles associés dans les trois autres quadrants.

*    Ce sont les huit angles notés de 1 à 8 sur la figure.

*    Premier constat: les huit angles en jaune sont égaux à l'angle A. Ils sont tous exprimables en fonction de Pi ou Pi/2 et A. Par exemple en 3) nous avons l'angle Pi/2 + A.

*    Sans se soucier de la valeur des angles 1 à 8, donnons les égalités des vecteurs verts (sinus de A) et des vecteurs rouges (cosinus de A), que ces vecteurs soient horizontaux ou verticaux:

 

Exemple: le sinus de l'angle en 1 est égal au sinus de l'angle en 4; égal aussi à l'opposé du sinus de l'angle en 8 …

 

*    Maintenant, en développant avec la valeur des angles (le petit nombre rappelle le numéro de l'angle):

 

 

 

 

 

Évolution des sinus et cosinus

 

*    Faisons varier x de 0 à plusieurs fois Pi, par exemple 6 Pi pour faire 3 tours du cercle trigonométrique et voyons ce que valent le sinus et le cosinus.

*    Sur le graphe, la courbe en sinus part de 0 (sinus(0) = 0. Celle en cosinus part de 1 (cosinus(0) = 1.


 

*    Les deux courbes sont identiques, mais décalées de Pi/2 (déphasage).

*    Les courbes se croisent pour tous les angles en .
 

 

*    Un signal quelconque peut se décomposer en une somme pondérée de sinus en x, 2x … kx. C'est la décomposition dite de Fourier

 

*    La recherche des différents x (les fréquences) s'appelle l'analyse spectrale du signal.

 

Voir Transformée de Fourier

 

 

 

 

Principe de la transmission en radio

 

*    Un exemple de signal qui semble quelconque: le signal électrique qui sort d'un microphone. Ce signal traduit sous forme électrique les sons émis par le présentateur radio, par exemple.

*       Sa voix se propage dans l'air à quelques dizaines de mètres;

*       Mis sous forme électrique, nous pouvons l'envoyer le long d'un câble à un destinataire donné. Très bien!

*       Mais nous voulons l'envoyer loin et à tout le monde. Faire de la radio, quoi!

*    Or, seules les ondes électromagnétiques de très hautes fréquences ont le pouvoir de se propager loin et partout (et à la vitesse de la lumière).

*       Ce sont des ondes qui vibrent à des fréquences de plusieurs millions de hertz (de cycles par seconde);

*       Alors que le signal de la voix (signal audio) vibre à un maximum de 20 000 hertz.

*    Qu'à cela ne tienne. Nous allons mettre le signal audio "à cheval" sur les ondes électromagnétiques (signal radio) et laisser cet équipage filer dans les airs.
Pour le recueillir, il suffit d'une antenne qui va capter ce signal composite. Le travail va consister à "débarquer" le signal audio de son signal porteur à très haute fréquence. En gros, on utilise un circuit qui filtre toutes les fréquences au-dessus de 20kHz. À la sortie, nous nous retrouvons avec le signal audio que nous dirigeons vers un haut – parleur.

 

Illustration


Voir Fonctionnement de la radio – Diaporama Junior

 

 

 

Sinus et cosinus d'une somme

 

*    Attention, ça ne s'ajoute pas.
Voici les formules à savoir:

 

 


 

 

Pas de relation évidente entre les longueurs des traits rouges et verts.

 

Voir Autres formules de ce genre

 

 

 

 

Suite

*    Un exemple simple de calcul trigonométrique pour bien me familiariser avec les nouveaux concepts.

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    TrigonométrieIntroduction

*    Trigonométrie – Tables

Voir

*    Angles

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

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