calcul Pi sur cinq

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TRIGONOMÉTRIE

Calcul des lignes trigonométriques de l'angle 36° = Pi/5

Angle caractéristique de l'étoile à cinq branches.

Approche

Nous connaissons a priori la valeur du sinus de Pi/5 (avec une calculette), et celle du sinus de ses voisins (connaissances du lycée).

sin Pi/4 = sin(45°) = 0,707 … =

sin Pi/5 = sin(36°) = 0,587 …

sin Pi/6 = sin(30°) = 0,5

Nous nous proposons de calculer la valeur de sin(Pi/5) sous forme d'une expression avec radical et, bien entendu, sa valeur numérique.

Il est sans doute possible d'y parvenir par:

la géométrie, notamment celle du pentagone;

la trigonométrie, en utilisant les relations entre les angles multiples; ou

par l'algèbre en résolvant une équation.

Nous allons utiliser une combinaison des deux dernières méthodes. L'explication de la résolution ne présente aucune difficulté pour des élèves de collèges. Par contre la trouver seul est une autre affaire.

Recherche d'une piste

Nous cherchons à connaître Sin(Pi/5).

Nous connaissons le sinus de Pi. Il vaut 0. Rappelons-nous que la valeur du sinus se lit sur l'axe vertical (ordonnées).
Pour l'angle valant Pi en radians, l'ordonnée vaut 0, comme pour l'angle 0, d'ailleurs.

Suffit-il de diviser cette valeur connue pour Pi par 5 pour trouver celle de Pi / 5?
Non ce serait trop simple. La figure montre bien que l'ordonnée y pour sin(Pi/5) est quelque part autour du 0,5.
Nous savons déjà que c'est 0,587 …

Mais l'idée n'est pas à laisser tomber!

Oui, voici la piste de départ =>

Mise en équation
Fouillons dans la bibliothèque des relations trigonométriques pour connaître l'expression de l'angle quintuple.	sin (5x) = 16A⁵ – 20A³ + 5A avec A = sin(x)
En prenant x = / 5	sin (5 ( / 5)) = Sin ( ) = 0 = 16A⁵ – 20A³ + 5A avec A = sin( / 5)
Nous disposons d'une équation du cinquième degré. Pfiou … On sait qu'elles ne peuvent pas être résolues! Sauf que nous pouvons mettre A en facteur et A n'étant pas nul nous pouvons simplifier. Les puissances de A étant paires, nous pouvons procéder à un changement de variables. Du cinquième degré nous voilà revenu au second.	16A⁵ – 20A³ + 5A = 0 A (16A⁴ – 20A² + 5) = 0 16A⁴ – 20A² + 5 = 0 Avec B = A² 16B² – 20B + 5 = 0

Résolution

Les solutions de cette équation se calculent selon la méthode classique.

ax² + bx + c = 0

Application numérique.

En divisant numérateur et dénominateur par 4.

En changeant B par sa valeur.

ax² + bx + c = 0

16B² – 20B + 5 = 0

a = 16, b= –20 et c = 5

= (-20)² - 4 x 16 x 5 = 80 = 4² x 5

Valeurs numériques

Nous connaissons le cadrage de sin (Pi/5). la seule valeur à retenir est la seconde.

A₁ = 0,901 … (signe plus)

A₂ = 0,587 … (signe moins)

Autre formulation équivalente

Et les autres …
Sinus
Cosinus: Calcul avec cos² = 1 – sin ²
Tangente Rapport sin sur cos.
Calcul de la forme simplifié de tangente Pi/5. Prenons le carré	2 (5 – 5)(5 – 1)² / 4² = (5 – 5)(6 – 25) / 8 = (30 – 105 – 65 + 10) / 8 = (40 – 165) / 8 = 5 – 25 = tg² (/5)