NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 30/01/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Analyse

 

Débutants

Trigonométrie

TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Calculs

Pi/5 = 36°

Exemples

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Recherche d'une piste

>>> Mise en équation

>>> Résolution

>>> Bilan

 

 

 

 

 

TRIGONOMÉTRIE

 

Calcul des lignes trigonométriques de l'angle 36° = Pi/5

Angle caractéristique de l'étoile à cinq branches.

 

 

Approche

 

*      Nous connaissons a priori la valeur du sinus de Pi/5 (avec une calculette), et celle du sinus de ses voisins (connaissances du lycée).

 

                 sin Pi/4 = sin(45°)               = 0,707 … =

                 sin Pi/5 = sin(36°)               = 0,587 …

                 sin Pi/6 = sin(30°)               = 0,5

 

*      Nous nous proposons de calculer la valeur de sin(Pi/5) sous forme d'une expression avec radical et, bien entendu, sa valeur numérique.

 

*      Il est sans doute possible d'y parvenir par:

 

*      la géométrie, notamment celle du pentagone;

*      la trigonométrie, en utilisant les relations entre les angles multiples; ou

*      par l'algèbre en résolvant une équation.

 

*        Nous allons utiliser une combinaison des deux dernières méthodes. L'explication de la résolution ne présente aucune difficulté pour des élèves de collèges. Par contre la trouver seul est une autre affaire.

 

 

 

 

 

Recherche d'une piste

 

*      Nous cherchons à connaître Sin(Pi/5).

 

*      Nous connaissons le sinus de Pi. Il vaut 0. Rappelons-nous que la valeur du sinus se lit sur l'axe vertical (ordonnées).
Pour l'angle valant Pi en radians, l'ordonnée vaut 0, comme pour l'angle 0, d'ailleurs.

 

 

*      Suffit-il de diviser cette valeur connue pour Pi par 5 pour trouver celle de Pi / 5?
Non ce serait trop simple. La figure montre bien que l'ordonnée y pour sin(Pi/5) est quelque part autour du 0,5.
Nous savons déjà que c'est 0,587 …

 

 

 

 

*      Mais l'idée n'est pas à laisser tomber!

 

*      Oui, voici la piste de départ => 

 

 

 

 

 

 

Mise en équation

*      Fouillons dans la bibliothèque des relations trigonométriques pour connaître l'expression de l'angle quintuple.

 

sin (5x) = 16A5   20A3 + 5A

avec A = sin(x)

 

*      En prenant x =  / 5

sin (5 ( / 5)) = Sin ( ) = 0

             = 16A5   20A3 + 5A

avec A = sin( / 5)

*      Nous disposons d'une équation du cinquième degré.

*      Pfiou … On sait qu'elles ne peuvent pas être résolues!

*      Sauf que nous pouvons mettre A en facteur et A n'étant pas nul nous pouvons simplifier.

*      Les puissances de A étant paires, nous pouvons procéder à un changement de variables.

*      Du cinquième degré nous voilà revenu au second.

 

16A5   20A3 + 5A = 0

 

A (16A4   20A2 + 5) = 0

 

16A4   20A2 + 5 = 0

 

Avec B  = A²

 

16B2   20B + 5 = 0

 

 

 

 

Résolution

 

*      Les solutions de cette équation se calculent selon la méthode classique.

 

 

ax² + bx + c = 0

 

*      Application numérique.

 

 

 

 

 

 

*      En divisant numérateur et dénominateur par 4.

 

 

 

 

 

*      En changeant B par sa valeur.

ax² + bx + c = 0

16B2   20B + 5 = 0

a = 16,    b= 20  et c = 5

 

 = (-20)² - 4 x 16 x 5 = 80 = 4² x 5

 

 

 

*      Valeurs numériques

 

*      Nous connaissons le cadrage de sin (Pi/5). la seule valeur à retenir est la seconde.

A1 = 0,901 … (signe plus)

A2 = 0,587 … (signe moins)

 

 

 

*      Autre formulation équivalente

 

 

 

Et les autres …

*      Sinus de Pi / 5

 

*      Cosinus:
Calcul avec
cos² = 1 – sin ²

*      Tangente
Rapport sin sur cos.

 

 

 

*      Calcul de la forme simplifié de tangente Pi/5.
Prenons le carré:

 

 

Valeur avec 100 décimales

 

Sinus

0, 5877852522  9247312916  8705954639  0727685976  5243764314

           5991072272  4807572784  7416235195  7508504049  8627413360 …

Cosinus

0, 8090169943  7494742410  2293417182  8190588601  5458990288 

        1431067724  3113526302  3140945122  4853603602  0946955688 …

 

Tangente

0, 7265425280  0536088589  5466757480  6187496160  9239296520

          8462750066  3273457493  9184568308  8420577522  2161400914 …

 

Voir Racine de 5

 

 

 

 

Rappel

*    Trigonométrie – Débutant

*    Trigonométrie et nombre d'or

*    Angles en Pi / n

*    Pentagone et étoile à cinq branches

*    Angle du pentagone

*    Décagone et tableau de trigo

Voir

*    Angles

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

*    Trigonométrie du pentagone

*    Trigonométrie et nombre d'or

*    Identités trigonométriques

DicoNombre

*    Nombre 0,587 …

*    Nombre 0,726 …

*    Nombre 0,809 …

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/Pisur5.htm