NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Général

Formes retournées

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Nombres 

Général

Opérations palindromes

Séquences

Proportions

Premiers

Division

Puissances

Carré magique

Différence de carrés

Strobogrammatique

Magie renversante

Premiers de Luhn

Palintiple

Soustraction 99

 

Sommaire de cette page

>>> Palintiples

>>> Les deux familles

>>> Programmation

>>> Historique

>>> Nombre égal a fois son retourné moins b

 

 

 

 

 

Nombre multiple de son retourné

PALINTIPLE

Nombre retourné divisible

Nombre/ Retourné = Entier

 

Ils ne sont que deux et engendrent une famille infinie.

 

Anglais: palintiple: an integer multiple of its digital digit reversal / reverse multiples /

palindromic multiple / reverse-divisible number

 

 

Ce sujet est également traité en Nombres retournée en proportions

 

 

Sérieux?

"Les nombres 8 712 et 9 801 sont les deux seuls nombres à quatre chiffres qui sont  multiples de leur retourné". Citation de G. H. Hardy qui donnait un exemple de mathématiques récréatives mais futiles. Pourtant les mathématiciens ont formalisé et étudié ce concept en base décimale. En 1966, Sutcliffe généralise à une base quelconque. Kaczynski cherche les solutions pour 2 et 3 chiffres et montre qu'elles sont liées. Lara Pudwell s'attaque à 4 et 5 chiffres.

 

Hardy states: 8712 and 9801 are the only four figure numbers which are integral multiples of their reversals"; and,  he  further  comments  that "this  is  not  a serious  theorem,  as  it  is  not capable of any significant generalization."

 

 

 

Palintiples

 

Les deux nombres pilotes

Un palintiple est un nombre qui est égal à k fois son retourné avec k > 1.

Le plus petit non trivial est 8712 dont le retourné 2178 vaut un quart de 8712.

 

Sont éliminés tous les cas triviaux:

*       Nombres palindromes, car alors k = 1. Ex: 131 / 131 = 1

*       Nombres terminés par 0. Ex: 1010 /101 = 10

 

 

Notez que 2 178 = 2 x 1 089

Pourquoi un motif sans fin

La multiplication posée explique la chose. Le motif central se répétée sans fin.

Voir Nombre 1089 et magie

 

 

Les deux familles et leurs descendances infinies

Chaque nombre pilotes donne naissances à une suite infinies de palintiples en intercalant des 9.

 

Une nouvelle suite est obtenue en concaténant 1, 2, … n nombres pilotes

On peut y intercaler les 9 comme sur le palintiple simple ou encore intercaler des 0 aux points de concaténation.

 

 

 

Programmation

 

 

Commentaires

La programmation permet de s'assurer qu'il n'y a pas d'autres palintiple que les deux pilotes: 8712 et 9801.

 

Réinitialisation avec restart.

Boucle de n = 1 à 10 000

Si le nombre n n'est pas un multiple de 10,alors

Convertir le nombre n en une liste N contenant les chiffres séparément (attention, ils sont en ordre inverse)

Avec n, on compte la quantité de chiffres dans n.

Initialisation du nombre r, le retourné de n.

Calcul de r en ajoutant les chiffres multipliés par la puissance de 10 correspondant à leur rang.

Calcul du rappor Q entre le nombre et son retourné.

 

Si ce quotient est entier et différent de 1 (élimination des palindromes), alors imprimer le nombre, son retourné et le quotient des deux.

 

 Fin des conditions et de la boucle

 

 

En bleu, résultat du déroulement du programme.

Voir  Calcul rapide du retourné / ProgrammationIndex

 

Historique

Motifs présentés par W.W.Rouse Ball en 1914.

Mathematical recreations and essayspdf 534 pages

 

 

 

 

Devinette

Trouvez un nombre de deux chiffres tel que d'en le retournant il vaut la moitié moins un de l'original.

Solution

 

 

 

 

Devinette – Solution

 

Question

Trouvez un nombre de deux chiffres (n) tel que d'en le retournant (rn) il vaut la moitié moins un de l'original.

 

Réponse

On a: rn = n/2 – 1 et la seule solution est 52 car 25 = 52 / 2 – 1.

 

Recherche

 

Autres cas à deux chiffres:   rn = n/a – b

 

En bas le cas des dizaines et leur forme générique selon la valeur de la dizaine k.

 

 

Avec trois chiffres  

 

Avec quatre chiffres

 

Mention spéciale pour la forme en 25 / 52

 

25 = 52 / 2 – 1

295 = 592 / 2 – 1

2995 = 5992 / 2 – 1

29…95 = 59..92 / 2 – 1

Retour  / Voir  Nombre 52

 

 

 

Suite

*     Retournement par soustraction  de 99

*       Nombres retournée en proportions (sur le même sujet)

*       Nombres retournés

*       Nombres permutés

*       Puissances de 2 retournées

*       Retournés et division par 7

*       Nombres allumettes

*       Nombres premiers de Luhn

*       Nombres strobogrammatiques (renversés)

Voir

*       Calculette

*       Chiffres en miroir

*       Devinettes d'égalité avec les chiffres

*       Motifs Index

*       Nombre 1089 et magie

*       Nombres en 4 fois 4

*       PermutationsIndex

*       PuzzlesIndex

DicoNombre

*       Nombre 8 712

*       Nombre 9 801

Sites

*       OEIS A031877 – Nontrivial reversal numbers (numbers which are integer multiples of their reversals), excluding palindromic numbers and multiples of 10.

*       Reversal – Wolfram MathWorld

*       Palintiples – Benjamin Bolt

*       Some general results an open questions on palintiple numbers – Benjamin V. Bolt – 2014

*       2178 and all thatN.J.A. Sloane – 2013

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/Palintip.htm