NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Partitions

 

Débutants

Addition

Variations sur les carrés

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

PARTITION

 

CARRÉS

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

a² – b² = c² – d²

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Tableau d'exemples

>>> Recherche de formalisation – Piste 1: factorisation

>>> Recherche de formalisation – Piste 1: somme de carrés

>>> Sommes et différences de carrés

>>> Propriété remarquable de a² – b² = c² – d²

>>> Bilan

 

 

 

 

 

 

DIFFÉRENCE des carrés

 

N = b² – a² = d² – c² = …

M = a²+ d² = b² + c² = …

 

Quelle sont les solutions de ces équations diophantiennes?

Différence de carrés = différence de carrés

ou ce qui revient au même:

Cherchez les sommes de carrés qui sont égales.

 

Réponse: une infinité de solutions!

 

Exemple:

 

Cerise sur le gâteau!

Concaténation des nombres et leur retournement:

 

    84² –   71² =     48² –   17²  = 7 056 – 5 041 = 2 304 – 289 = 2 015

1311² – 701² = 1113² – 107² = 1 718 721 – 491 401 = 1 238 769 – 11 449 = 1 227 320 

1311² – 804² = 1113² – 408² = 1 718 721 – 646 416 = 1 238 769 – 166 464 = 1 072 305

 

 

 

Approche

 

Le problème posé: trouver quatre nombres entiers tels que la différence des carrés deux à deux soient égales.

 

b² – a²

= d² – c²

Ce qui équivaut à une égalité entre somme de carrés.

a² + d²

= b² + c²

En factorisant avec une identité remarquable:

N = (b – a) (b + a)

= (d – c) (d + c)

Cette présentation permet de conclure que N et un nombre qui doit être factorisable de deux manières.

N = P x Q

= R x S

Exemple

15 = 1 x 15

= 3 x 5

Il s'agit de convertir ces facteurs en somme et différence de couples de nombres.

15 = 7 + 8

5 = 4 + 1

et 8 – 7 = 1

et 4 – 1 = 3

En remontant le calcul:

15 = (8 – 7) (8 + 7)

= (4 – 1) (4 + 1)

 

N = 8² – 7²

15 = 64 – 49  

= 4² – 1²

= 16 – 1

Exprimé sous forme de somme:

M = 7² + 4²

49 + 16

= 8² + 1²

= 64 + 1 = 65

 

 

Table des premières différences de carrés

 

Les premières valeurs de a et b jusqu'à 10 puis c et d jusqu'à 100.

Avec a, b, c et d différents.

On reconnait la première ligne avec N = 4² – 1² =  8² – 7².

Les quatre colonnes suivantes montrent les quatre facteurs: N = 3 x 5 = 1 x 15.

La suivante indique l'égalité des sommes de carrés: 49 + 16 = 64 + 1 = 65.

Les deux dernières colonnes seront expliquées ci-dessous.

 



Présentations multiples:

   48 =   1² – 7² =   8² – 4² = 13² – 11²

120 = 11² – 1² = 13² – 7² = 17² – 13² = 31² – 29² 

288 = 17² – 1² = 18² – 6² = 22² – 14² = 27² – 21² = 38² – 34² = 73² – 71²

960 = 31² – 1² = 32² – 8² = 34² – 14² = 38² – 22² = 46² – 34² = 53² – 43²
= 64² – 56² = 83² – 77² = 122² – 118² = 241² – 239²

1 680 = 41² – 1² = 43² – 13² = 44² – 16² = 47² – 23² = 52² – 32² = 67² – 53²
= 76² – 64² = 89² – 79² = 109² – 101² = 143² – 137² = 212² – 208² = 421² – 419²

 

 

 

Recherche de formalisation – Piste 1

En reprenant la factorisation:

N = (b – a) ( b + a)

= (d – c) (d + c)

Les facteurs doivent se retrouver de part et d'autre de l'égalité. Alors supposons:

b – a

b + a

=     k  (d – c)

= 1/k (d + c)

Somme de ces deux expressions:

2b

 

b

 

a

Impasse!

La valeur de k = (d + c) / (b + a) et celle de h = (d – c) / (b – a) sont indiquées dans les deux colonnes de droite du tableau.

 

 

Recherche de formalisation – Piste 2

En reprenant la somme des carrés

M = a² + d²

= b² + c²

Nous reconnaissons là un problème connu!

Quels sont les nombres qui peuvent se présenter comme plusieurs fois la somme de deux carrés.

La première condition: que le nombre M soit un nombre somme de deux carrés.

Exemple m = 65 (première ligne du tableau)

65

 

= 5 x 13

= (1x4 + 1) x (2x4 + 1)

C'est la bonne piste!

Toutes les égalités de somme de carrés peuvent se transformer en égalité de différence de carrés.

 

 

 

Sommes et différences de carrés

 

Je connais M, somme de deux carrés deux fois, il est facile d'en déduire une différence de carrés.

Il suffit de faire basculer un carré de chaque côté vers l'autre côté de l'égalité.

 

 

M =  + 4² = 8² +   = 65

 

N =  4² – = 8² –   = 15

 

Nouvel exemple avec 325, avec lequel nous forgeons trois fois l'égalité de différence de carrés.

 

M = 1² + 18² = 6² + 17² = 10² + 15²

 

N   = 18² – 17² =   6² – 1² = 35

N'  = 18² – 15² = 10² – 1² = 99

N" = 17² – 15² = 10² – 6² = 64

 

Voir Somme de deux carrés deux fois – Autres exemples

 

 

Propriété remarquable de a² – b² = c² – d²

Création de ce motif en cascade

*      La concaténation des nombres et leur retourné conduit à une nouvelle égalité du même type.

 

8² – 4² = 7² – 1² = 64 – 16 = 49 – 1 = 48

84² – 71² = 48² – 17² = 7 056 – 5 041 = 2 304 – 289 = 2 015

 

*    Cette propriété est basée sur une identité assez remarquable, non classique. Voyons d'abord le cas des chiffres de 0 à 9.

 

Notons a, b, c et d, les quatre nombres a un chiffre.

Leur concaténation donne:

Leur retournement

 

*    Identité que nous allons étudier:

 

 

D = ((10a + b)² – (10c + d)²)((10b + a)² – (10d + c)²)

 

*    Calculs:

 

D = 100a² + 20ab + b² – 100c² –20cd – d² – 100b² – 20ab – a² + 100d² + 20cd + c²

D = 99a² – 99b² – 99c² + 99d²

D = 99 (a² – b² – c² + d²)

 

*    Conditions pour que D  = 0:

 

– b² – c² + d² = 0

a² – b² = c² – d²

 

*    Propriété pour a, b, c et d des nombres à un seul chiffre.

 

Soit un nombre différence de deux carrés deux fois. La concaténation des carrés et leur retournés forment également un nombre différence de deux carrés deux fois.

 

 

 

 

Les sept seuls cas pour les chiffres de 0 à 9

On note: trois cas avec permutations et un cas unique comportant deux 5.
Le tableau peut être prolongé comme nous allons le voir tout de suite.

Merci à André M. pour ces résultats

 

 

 

Extraordinaire: la propriété est valable pour les nouvelles différences de carrés.
En effet, avec ces nouveaux nombres à k plusieurs chiffres, il est possible de créer une nouvelle égalité.
Et, recommencer sans fin.

Attention de retourner les nombres et non les chiffres.

 

Justification avec des nombres de k chiffres

Leur concaténation donne:

Leur retournement

Le calcul conduit à:
D = 100ka² + 100b² – 100kc² – 100d² – 100kb² – 100a² + 100kd² + 100c²
D = (100k – 100)a² – (100k – 100)b² – (100k – 100)c² + (100k – 100)d² 

Nous retrouvons les mêmes conditions: pour que D = 0. Il suffit que: a² – b² – c² + d² = 0.

 

 

 

 

Cas du triplet de Pythagore

Dans le cas d'un triplet de Pythagore, nos propriétés subsistent, à condition de mettre un des nombres à 0.

   

 Exemple de cascade (quatre étapes) avec le triplet 5² = 4² – 3²

 

Voir Le triplet de Pythagore le plus célèbre

 

 

 

Bilan

Il existe une infinité de cas tels qu'un nombre soit égal à la différence de deux carrés au moins deux fois.

Par concaténation et retournement, il est possible de créer une cascade sans fin de tels nombres à partir d'une configuration initiale.

Les triplets de Pythagore n'échappent pas à cette propriété.

 

 

 

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