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Édition du: 11/03/2023

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Eugène Catalan

Nombres de Catalan

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NOMBRES de CATALAN

ÉNIGME d'HIPPARQUE  

 

Sommaire de cette page

>>> Énigme d'HIPPARQUE

>>> Cas de 2 propositions

Débutants

Dénombrement

 

Glossaire

Combinatoire

 Anglais : Catalan Numbers

 

 

Énigme d'HIPPARQUE

haut

 

Chrysippe, le Stoïcien (vers -250) dit:

 

Avec 10 propositions élémentaires, je peux composer plus de 1 million de propositions complexes

 

Hipparque, l'astronome grec, répond :

 

Il y aura :

- 103 049 propositions affirmatives et,

- 310 952 propositions négatives

 

Ce dialogue est rapporté par Plutarque

 

Comment Hipparque calcule-t-il ?

 

 

Cas de 2 propositions

haut

 

 

J'ai faim & J'ai soif

 

 

J'ai faim

ET

J'ai soif

 

J'ai faim

OU

J'ai soif

si

J'ai faim

ALORS

J'ai soif

 

etc.

 

 

 

Nombre d'arrangements

 

A la fin du siècle dernier, Friedrich Schröder, logicien allemand, a résolu le dénombrement en définissant une suite de nombres qui donne la quantité de façons d'introduire des parenthèses dans une chaîne d'éléments:

 

(

a

et

 

b

)

ou

c

 

 

a

et

(

b

 

ou

c

)

 

Note

C'est le nombre de façons possibles, étant donné une suite de propositions et d'opérateurs;

En changeant les opérateurs, on trouvera une autre série de propositions.

 

Nombres de Schröder

 

s(1)

s(2)

s(3)

s(4)

s(5)

s(6)

...

s(10)

1

2

3

11

45

197

103 049

 

Cas de s(10)

 

C'est le premier nombre d'Hipparque: hasard ?

Les propositions complexes réalisées en utilisant l'opérateur NON, et en retirant les propositions équivalentes, sont au nombre de:

 

n(n) = [s(n) + s(n+1)] /2

 

Et          n(10) = 310 954

À comparer à    310 952 d'Hipparque 

Erreur de calcul ?

 

 

 

 

 

 

Suite

*       Catalan et triangle de Pascal

*       Nombres de Motzkin

*       Nombres de Genocchi

Voir

*       Billard

*       Coefficient du binôme

*       Conjecture de Catalan

*       Constante de Catalan

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*       Eugène Catalan

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*        Voir Références

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