NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres premiers inévitables

>>> Liste – Nombres premiers inévitables

 

 

 

 

 

 

NOMBRES MINIMAUX

 ou inévitables

 

Exploration en théorie des nombres: ensemble de nombres tel que tous les autres nombres s’y retrouvent parmi leurs chiffres. On cherchera, par exemple, l’ensemble minimal des nombres premiers ou des nombres composés, en base 10 ou autres bases, ...

La surprise : ces ensembles minimaux sont finis ! Quantité limitée de nombres.

 

Exemple avec les mots et les lettres :

Supposons que l’ensemble minimal des mots contienne le mot {..., AMI, ...}, alors les mots {AMIE, AMIS, AMIES} comporte "AMI" et ne font donc pas partie de l'ensemble minimal. Ce sera le cas également des mots {MAMIE, GAMIN, TATAMI, MATHÉMATIQUE, ARITHMÉTIQUE, ÉLECTRODYNAMIQUE ...} qui ne feront pas partie de l’ensemble minimal car on peut y retrouver le mot AMI. Il suffit d’effacer des lettres pour retrouver le mot ami avec ses lettres dans le bon ordre.

 

Anglais: Minimal prime, minimal composite number

 

 

 

Premier minimal ou inévitable

 

Définition

Ensemble minimal de nombres premiers tels qu’aucun nombre premier ne contienne dans ses chiffres, pris dans l’ordre, un premier de l’ensemble.

 

Anglais : Every prime number, when written in base ten, has one of the minimal primes as a substring.

 

 

Auteur

Notion introduite en 2000 par Jeffrey Shallit de l'Université canadienne de Waterloo.

 

Propriété

L’ensemble minimal des nombres premiers est un ensemble fini. Il compte 26 nombres.

Propriété démontrée par M. Lothaire, un collectif français de spécialistes en combinatoire.

 

 

Construction

Prenons la liste des nombres premiers successifs :

*      Jusqu’à 11, chacun est original

*      Avec 13, on rencontre le 3 qui existe déjà. On le retire.

*      17  avec son 7 est éliminé.

*      19 ne contient aucun des précédents ; il reste en lice.

*      23 et 29 contiennent le 2, on les retire. Idem pour 31 et 37.

*      41 est original, il est sélectionné.

*      Etc.

*      109 sera éliminé car contient 19.

 

Procédure

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101

 

Liste des 26 nombres premiers minimaux

2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049.

 

Certains remarqueront

la présence persistante du nombre 666.

 

Conséquence

Pour tout nombre premier, il est possible d’effacer certains chiffres, ou aucun, et retrouver un nombre premier de la liste minimale.

 

Exemple d’appartenance ou non avec les premiers de 409 à 449.

409 : 4, 9, 40, 49 ne sont pas premiers et ne sont donc pas dans la liste minimale.

419: 41 est dans la liste; non sélectionné pour faire partie de la liste.

421: 4, 2, 1, 42, 41, 21 avec 41 dans la liste minimlae, il est rejeté.

431, 433, 439, 443 avec présence du 3, ils sont tous éliminés.

449:  4, 9, 44, 49 ne sont pas premiers. Candidat retenu pour la liste minimale.

 

 

Composé minimal ou inévitable

 

Il y a exactement 32 nombres composés qui n'ont pas de sous-suite composée plus courte.

Tout nombre composé contient dans ses chiffres au moins un des éléments de cet ensemble et c’est l’ensemble le plus petit.

 

 

Liste des 32 nombres composés minimaux

 

4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731.

 

Exemple de nombres composés

111: aucun nombre (1 ou 11) déjà dans la liste: retenu

112: avec le 12, ce nombre est rejeté de la liste minimale.

113 est un nombre premier

114: avec son 4, il est rejeté.

 

 

Ensemble minimal ou inévitable

 

On dit qu’une chaine de symboles (s) est minimale dans un langage L si s est un membre de L et s’il n’est pas possible d’obtenir un autre membre de L par effacement d’un ou plusieurs symboles de s.

 

On sait que l’ensemble minimal est fini.

En revanche, son calcul n’est pas toujours facile.

 

 

Bilan

Curieux de constater que ces ensembles sont finis. Pourtant, un théorème connu stipule que tout ensemble de chaines de caractères incomparable deux à deux est fini.  Et, cette propriété reste valable dans de nombreux cas : 

*      En base 8, l’ensemble minima des premiers est : {2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 444444441}

*      Ensemble des nombres dont les reste est 1 en le divisant par 4 (congru à 1 mod 4) : {5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, ... ils sont 146}

Voir les références Internet pour en savoir plus.

 

 

 

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Écrits

*           Nombres premiers inévitables et pyramidaux – Nouveautés et divertissements à propos des toujours étonnants nombres premiers – Jean-Paul Delahaye – Pour la science n°296 juin 2002

Sites

*           Nombre premier minimal – Wikipédia

*           Minimal prime – The prime glossary – Chris Caldwell

*           Minimal primes – Jeffrey Shallit – 2001

*           Minimal Elements for the prime Numbers – Curtis Bright, Raymond Devillers et Jeffrey Shallit – 2015

*           OEIS A071062 – Minimal set of prime-strings in base 10

*           OEIS A071070 – Minimal set of composite-strings in base 10.

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