NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 01/08/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

FORMES

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Nombres à motifs

 

Palindrome

Résistant

Circulaire

Primeval

Minimal

 

Sommaire de cette page

>>> Nombre primeval de Mike Keith

>>> Les premiers nombres et leur propriété primevale

>>> Records primeval

>>> Exemple de dénombrement primeval

>>> Listes de primevals

>>> 73, le plus grand super primeval

>>> Nombre k – primeval

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

 

NOMBRE PRIMEVAL

Ou nombre primitif

 

Sorte d’anagramme avec les nombres : quels sont mots possibles à partir des lettres d’un mot donné ? Exemple avec le mot premier : empire, pierre, prier, père, mère, émir, pie ...

 

Avec les nombres, le principe consiste à extraire les K nombres premiers d’un nombre donné à partir des permutations de tout ou partie de ses chiffres. Un nombre primeval est celui dont K est plus grand que celui de tous les nombres inférieurs (le K record).

 

Types de primeval

Nombres COMPOSÉS

Nombres PREMIERS

Kc = Arrangements premiers

 Kp = Arrangements premiers

Kc Record

=> PRIMEVAL composé

Kp Record

=> PRIMEVAL premier

 

 

Anglais: Primeval numbers

Primeval signifie : qui appartient aux premiers âges. De primus premier et aevum, âge.

 

 

  

Nombre PRIMEVAL de Mike Keith

 

Définition

Propriété d'un nombre à inclure des nombres premiers parmi la combinaison de certains de ses propres chiffres.

Un peu comme les anagrammes pour les lettres des mots.

 

Les nombres premiers obtenus utilisent exactement les chiffres du nombre d’origine (même quantité).

 

K est la quantité d’arrangements premiers extrait d’un nombre n.

 

Un nombre n est primeval si son K est plus grand que celui de tous les nombres inférieurs.

 

 

Exemples

 

246 n'est pas primeval

 

Le nombre premier 13 avec les trois nombres premiers 3, 13, 31 est un candidat primeval à condition que son K soit supérieur au K des nombres premiers jusqu’à 13. C’est effectivement le cas. Il est Primeval

 

1237 est très primeval en contenant 14 nombres premiers. C’est le plus petit premier avec K = 14. Il est Primeval.

 

Rappel

Les nombre 0 et 1 ne sont pas premiers.

 

 

 Exemples des nombres premiers primevals

 

 Les premiers nombres et leur propriété primevale

 

N

Premiers

dans N

Quantité

K

1

 

0

2

2

1

3

3

1

4

 

0

5

5

1

6

 

0

7

7

1

8

 

0

9

 

0

10

 

0

11

11

1

12

 

0

13

3, 13, 31

3

14

41

1

15

 5

0

...

 

37

3, 7, 37, 73

4

 

On note (en gras rouge), la progression du record primeval (K).

 

 

 Nombres premiers primevals

 

N

K

Primeval

2

1

1

13

3

3

25

2

37

4

4

107

5

5

113

7

7

127

6

137

11

11

167

8

179

10

1013

14

14

1027

9

1036

12

1037

19

19

1079

21

21

1123

18

1127

13

?

15

1135

16

1136

17

1139

20

 

1 237

26

1 367

29

1 379

31

10 079

33

10 123

35

10 136

41

10 139

53

10 237

55

10 279

60

10 367

64

10 379

89

12 379

96

13 679

106

 

 

 

 Exemple complet avec 1237   & 1 379

 

Quels sont les arrangements des chiffres 1, 2, 3, 7 pris par 1, par 2, par 3 et par 4?

 

Arrangements de p articles parmi n :

 

 Anp = n! / (n – p)! =

 n (n – 1) (n – 2) ... (n – p + 1)

 

Cas

n

p

n - p +1

Formule

Résultat

1 parmi 4

4

1

4

4

4

2 parmi 4

4

2

3

4 x 3

12

3 parmi 4

4

3

2

4 x 3 x 2

24

4 parmi 4

4

4

1

4 x 3 x 2 x 1

24

 

 

 

 

Total

64

 

 

 

Les 64 arrangements et identification des 26 premiers

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

12

21

 

 

 

 

13

31

 

 

 

 

17

71

 

 

 

 

23

32

 

 

 

 

27

72

 

 

 

 

37

73

 

 

 

 

123

132

213

231

312

321

127

172

217

271

712

721

137

173

317

371

713

731

237

273

327

372

723

732

1237

1273

1327

1372

1723

1732

2137

2173

2317

2371

2713

2731

3127

3172

3217

3271

3712

3721

7123

7132

7213

7231

7312

7321

 

Cas de 1379  avec 31 premiers

 

3, 7, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 137, 139, 173, 179, 193, 197, 317, 379, 397, 719, 739, 937, 971, 1973, 3719, 3917, 7193, 9137, 9173, 9371.

 

 

 

 

Listes de primevals

 

Primevals

 jusqu’à 1011

 

2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1037, 1079, 1237, 1367, 1379, 10079, 10123, 10136, 10139, 10237, 10279, 10367, 10379, 12379, 13679, 100279, 100379, 101237, 102347, 102379, 103679, 123479, 1001237, 1002347, 1002379, 1003679, 1012349, 1012379, 1023457, 1023467, 1023479, 1234579, 1234679, 10012349, 10012379, 10023457, 10023467, 10023479, 10034579, 10123457, 10123469, 10123579, 10123679, 10234567, 10234579, 10234679, 12345679, 100123379, 100123457, 100123469, 100123579, 100123679, 100233479, 100234567, 100234579, 100234679, 101234567, 101234579, 102334679, 102345679, 1000234579, 1000234679, 1001233469, 1001233579, 1001233679, 1001234567, 1001234579, 1002334679, 1002345679, 1012345678, 1012345679, 1123456789, 10001234579, 10002334679, 10002345679, 10012234579, 10012234679, 10012334579, 10012345678, 10012345679, 10122345679, 10123345679, 10123456789, 100012345678, 100012345679, 100112345678, 100112345789, 100122345679, 100123345679, 100123456789, 101233456789, 101234567789....

Voir  OEIS A072857 /

 

 

Primevals composés

 

2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1237, 1367, 10079, 10139, 12379, 13679, 100279, 100379, 123479, 1001237, 1002347, 1003679, 1012379, ...

Voir OEIS A119535

 

 

 

73, le plus grand super primeval

 

3, 7, 37 et 73 sont premiers

 

 

Le nombre 73 est le plus grand nombre tel que toutes les permutations de tout ou partie de ses chiffres sont des nombres premiers.

Anglais : 73 is the largest integer with the property that all permutations of all of its substrings are primes.

 

 

Démonstration

On vérifie un à un  que c’est le cas pour les nombres à deux chiffres et les nombres à trois chiffres.

Avec un nombre quatre chiffres, on note le reste de la division par 3 de chaque chiffre (tableau).

Si 2 restes (ou plus) sont à 0, disons a et b, le nombre ab est divisible par 3.

Si un des restes est nul, disons a, le nombre a est divisible par 3.

Si un des restes vaut 1, et deux autres valent 1 et 2, disons b et c, alors le nombre bc est divisible par 3

Si un des restes vaut 1 et les trois autres valent 2, disons b, c et d, alors le nombre bcd est divisible par 3.

Conclusion : avec quatre chiffres, il est impossible d’éviter un nombre composé en prenant toutes les arrangements des chiffres.

 

00cd

0bcd

 

1111

1112

1121

1122

1222

1221

1212

1211

                                                                                                           

 

Nombre k-primeval

 

Un nombre k-primeval contient tous les nombres premiers de k chiffres

 

k

Premiers

Plus petit k – primeval premier

1

2, 3, 5, 7

2 357

2

11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

1 123 465 789

3

...

10 112 233 445 566 788 997

4

100 111 222 333 444 555 666 777 998 889

5

1 0313243454637380 98889899

6

1 041424355565758594 98889899

...

 

 

Anglais

Primeval Numbers: integers containing many embedded primes.

 

 

 

 

 

Voir

*    Nombres premiersIndex

*    Nombres à motifsIndex

*    Nombres plaqués

*    Nombres premiers permutables

*    Nombres premiers minimaux

Voisins

*    Nombres divisibles résistants

*    Motifs itératifs

*    Calcul mental

*    Curiosités de motifs et formes

*    Divisibilité

*    Géométrie

*    Magie avec les nombres

*    Petit théorème de Fermat 

*    Théorie des nombresIndex

DicoNombre

*    Nombre 73

*    Nombre 1 379

*    Nombre 2 357

*    Nombre 10 079

Sites

*    Nombres primitifs – Wikipédia

*    Primeval numbers – Mike keith – 1998

*    Primeval numbers – The Prime Glossary – Chris Caldwell

*    Primeval numbers – Numbers Aplenty

*    OEIS A072857 – Primeval numbers: numbers that set a record for the number of distinct primes that can be obtained by permuting some subset of their digits.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/primeval.htm