NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INITIATION au CALCUL

 

Débutants

Nombres

SOUSTRACTION

 

Glossaire Nombres

 

 

INDEX

 

Calculs

 

Soustraction simple

Initiation

Nombres négatifs

Ascenseur    

Additions et soustractions des nombres négatifs

Traits verts et traits rouges

Exemples

Poids et ballons

Calcul des différences de niveau k entre nombres puissance p

Différences kièmes

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Calcul des différences

>>> Formulation

>>> Cas de nombres consécutifs portés à une puissance

 

 

 

 

 

 

Différences kièmes

Différences finies

 

Calcul de la différence entre les nombres d'une suite, puis calcul de la différence entre celles-ci, puis … jusqu'à répéter k fois cette opération: différences finies.

Se dégage une relation entre les différences kièmes et le triangle de Pascal et même avec les factorielles.

Anglais: Finite difference

 

 

 

 

Approche

Suite de nombres

La suite des nombres (n) et la suite Sn des nombres: Sn = Sn-1 + n.

On calcule la différence entre les nombres (évident, bien sûr), puis la seconde différence.

Celle-ci est constante et égale à 1.

Suite et ses différences 1ère et 2e

Théorème

Si la différence seconde est constante, la suite est représentée par une équation du second degré.

Si la différence troisième est constante, Sn  est du troisième degré.

Mise en équation

 

Sn = an² + bn + c

 

S1 = a + b + c = 1

S2 = 4a + 2b + c = 3

S3 = 9a + 3b + c = 6

 

Résolution et vérification

 

 

 

Voir Résolution d'un système d'équations

 

 

 

Calcul des différences

 

Soit une suite de nombres: a, b, c, …

Calculons la différence entre ces nombres deux à deux et dans l'ordre.

 

Tableau des différences kièmes

 

Deux types d'observations

 

 

En horizontal

 

Les expressions sur une ligne sont de même forme. On passe de l'une à la suivante en faisant glisser les lettres d'un cran.

 

Prenons a – b et b – c. En faisant la soustraction: a est unique; b apparaît deux fois et chaque fois avec le signe moins; et, c vient une seule fois avec deux fois le signe moins, le propulsant en signe plus dans la formule.

 

 

Exemple de soustraction

 

Conclusion

Pas  étonnant de retrouver des sommes algébriques qui se cumulent en donnant les coefficients du triangle de Pascal; on dit aussi: coefficients du binôme car, ils sont impliqués dans le développement de (a + b)n.

 

 

En vertical

 

Les coefficients sont ceux du triangle de Pascal avec signe alterné:

 

 

Notation: Le 3e de la 4e ligne:

 

Rappel du calcul

La fraction commence par les mêmes coefficients et comporte 2 facteurs (comme le 2 de C2).

 

 

 

Formulation

 

Reprenons comme exemple la différence 5ième.

Écriture avec les coefficients du binôme

 

Nommons les a, b, c … par a0, a1, a2 … avec des indices qui faciliteront l'écriture.

 

Introduction du signe de sommation et de l'indice i qui va passer par les valeurs 0 à 5. 

Formulation du signe avec une puissance de -1; elle est positive pour les puissances paires.

 

Généralisation à la différence de rang k.

 

 

 

 

Cas de nombres consécutifs portés à une puissance

 

Soit une suite de nombre n, n – 1, n – 2, n – 3, …

 

Calculons la différence entre ces nombres deux à deux: sans intérêt! ce sont des nombres consécutifs. Par contre prenons le carré de ces nombres ou la puissance p de ces nombres.

 

Nous retrouverons évidemment les propriétés énoncées ci-dessus. Elles sont à la base du fonctionnement de la machine à calculer de Babbage.

 

 

 

La formule générale pour la deuxième différence est rappelée en colonne "général"; de même que celle pour la troisième différence.

 

Remplaçons: a0, a1, a2 … par les nombres consécutifs n, n – 1, n – 2 …

 

En haut, nous portons ces nombres au carré et calculons la différence deuxième D22.

 

En bas, la différence troisième avec les cubes.

 

Résultat incroyable!

 

 

Carrés

 

La différence deuxième entre carrés de nombres successifs est constante et égale à 2.

 

Cubes

 

La différence troisième entre cubes de nombres successifs est constante et égale à 6.

 

Puissance k

 

La différence kième entre la puissance kième de nombres successifs est constante et égale à k!.

 

 

 

 

Suite

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*       Factorielle et différence énième de puissances

 

Voir

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