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Sommaire de cette page

>>>  Trisection du carré par deux paraboles

>>>  Approche

>>>  Principe de la méthode d'Archimède

>>>  Calcul complet dans un cas simple

 

 

 

 

 

Aire du segment de parabole

Quadrature de la parabole

Méthode d'Archimède

 

Archimède (-287 à -212 Syracuse en Sicile) met au point une méthode d'exhaustion rigoureuse qui lui permet d'affirmer que l'aire du segment de parabole est égale à 4/3 de l'aire du triangle qui le sous-tend.

La méthode d'exhaustion, connue avant Archimède, consiste à approcher de plus en plus près l'aire à calculer par excès et par défaut. Si les deux valeurs convergent vers la même limite, nous avons alors la valeur de l'aire recherchée. Cette approche était connue sous le nom de quadrature, ancêtre du calcul intégral.

Avec les techniques actuelles, le calcul reste assez long. On ne peut qu'admirer le savoir-faire d'Archimède.

 

Anglais: Archimedes and his quadrature of a parabola / Archimedes' quadrature of the parabola

Parabolic section

 

Historique

Archimède, comme ses contemporains, avait la réputation de faire connaitre leurs résultats, mais jamais leurs méthodes. Les gardant secrètes pour mieux dominer.  C'est faux! La preuve en a été donnée lors de la découverte en 1906 du palimpseste relatant en détail la méthode de calcul du segment de parabole par Archimède.

 

 

En bref: Trisection du carré par deux paraboles (Archimède)

Voir Trisection du carré / Calcul par intégrale / Aires / Nombre 1/3

 

 

Approche

 

La parabole (bleue) a pour équation y = x². Les points d'abscisse 1 et -1 ont pour ordonnée y = 1

L'aire du rectangle (en partie vert) est égale à 2 x 1 = 2.

Celle du triangle jaune est égale à la moitié: 1.

On considère le segment de parabole inscrit dans le rectangle (en partie bleu): son aire est égale à 4/3 de l'aire du triangle. La composante bleue a une aire égale = 4/3 – 1 = 1/3

Prenons deux points quelconques de la parabole (B et C).

Construisons le point A le plus éloigné de AB:

La parallèle AT à BC est tangente en A à la parabole.

L'aire du segment de parabole (bleu foncé) sous-tendu par le triangle ABC (jaune) est égale à 4/3  de celle du triangle

 

Archimède a démontré cette relation de façon rigoureuse en approchant la parabole par excès et par défaut. L'aire du segment est alors cernée.

 

Note: il se trouve que le point I à la verticale de A est le point milieu du segment AB.

Voir Résumé des propriétés de la parabole associées à celle-ci

 

 

 

Principe de la méthode d'Archimède

Une méthode la plus classique consiste à créer une paire d'escaliers d'un côté et de l'autre de la parabole.

Le décompte des mailles permet d'encadrer l'aire sous la courbe.

Plus les mailles sont fines et plus on approche par défaut et par excès la valeur exacte.

 

Le principe est là. Il se trouve qu'Archimède va utiliser cette méthode mais en la rendant plus performante, plus mathématique.

Il arrive à mettre en formules itératives le calcul de ces deux valeurs.

 

 

Archimède a calculé ce rapport en dessinant de petits triangles dans la zone libre en bleue.

 

Son résultat

Le rapport entre l'aire du segment de parabole et celle du triangle est égal à 4/3.  Et cela est vrai dans le cas général.

 

Prenons l'unité comme aire du triangle jaune. L'aire des deux triangles jaunes foncés est égale 1/4. L'aire des quatre plus petits en brun est égale à 1/8 = (1/4)² …

 

 

 

La démonstration complète fait appel à l'encadrement de la valeur par le haut et par le bas, dite méthode par exhaustion.

 

Archimède avait approché la solution en faisant des pesées imaginaires: la parabole et le triangle étant découpés en petites bandelettes.

 

La série géométrique, calculée par Archimède (287-212 av. J.-C.), semble être le premier exemple connu d'une série convergente.

 

 

Convergence de la série

 

 

Seules connaissances nécessaire pour le chapitre suivant

L'aire du triangle est égale à ½ base  hauteur        >>>

L'équation de la parabole la plus simple est y = ax² >>>

 

 

Calcul dans un cas simple

Parabole d'équation y = x²

B (-a, b) et C (a, b)  avec b = a²

Rectangle (ici carré) BCC'B'

Aire rectangle  = 2 a . b

Triangle isocèle ABC dont l'aire est moitié de celle du rectangle

Triangle inséré ABN (blanc) tel que

M est le milieu de AC'

Triangle T1 avec base PN et hauteur QC

Voir Explications détaillées

Triangle T2 avec base PN et hauteur AM

Les quatre triangles (surface blanche)

Ordonnées du point P d'abscisse a/2 (selon notre construction).

Ordonnées du point N d'abscisse a/2 (du fait de l'appartenance à la parabole: y = x²).

Longueur du segment PN

Aire de la surface blanche

Cumul: aires de tous les triangles à l'issue de cette première opération.

 

 

 

 

 

 

 

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