Nombres complexes, techniques opératoire (terminale)

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 05/01/2015 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Nombres complexes

Technique opératoire

Nous allons passer en revue diverses techniques de calcul avec les nombres complexes qui se retrouvent dans les problèmes typiques posés en terminale, notamment au bac.

Données communes

Deux nombres complexes:

z = a + ib, affixe d'un point M (ou du vecteur ).

z' = a' + ib', affixe d'un point M' (ou du vecteur ).

Ne pas prendre cette notation pour une dérivée; nous aurions pu choisir z_A et z_B.

Se souvenir que ib veut dire i multiplié par b. En cas de confusion possible écrire i.b

Techniques opératoires (terminale) – Bases
Ne pas confondre Affixe et Module		Affixe du point M ou du vecteur . C'est le nombre complexe lui-même. Module de z, ou longueur OM.
Calcul avec i² = – 1
Conjugué		+ 9 = 13 (un nombre réel pur)
Dénominateur complexe

Opérations
Addition et soustraction
Multiplication
Puissance
Division
Racine

Suite Opérations avec les complexes et leur interprétation vectorielle

Application f
Une application
Un nombre complexe
L'image z' de z par la fonction f

Voir Exercices

Résolution équation du second degré
Une équation

Voir Équation du second degré / Racines avec les négatifs

Forme polaire
Calcul du module
Détermination de l'angle (argument)		Voir Explications
Forme exponentielle

Suite en Forme polaire

Reconnaitre l'angle

Avant toute chose extraire le module est le mettre en facteur.

En suite, les deux termes du nombre complexe caractérisent un angle:

la partie réelle Re(z) = x = cos , et

la partie imaginaire Im(z) = y = sin .

Un petit retour sur le cercle trigonométrique qui montre comment lire la valeur de l'angle. Astuce: commencez par repérer le ½ et vous aurez pratiquement la réponse pour 30° et 60°.

En classe de terminale, sauf cas extraordinaire, les angles à trouver seront en 30°, 45° et 60° (et leur associés autour du cercle). Souvenez-vous que Pi = 180° et calculez facilement les valeurs en radians. Par exemple 60° est le tiers de 180°, soit Pi/3 en radians.

Voir Trigonométrie

Forme exponentielle
Nombre complexe
Son conjugué
Module
Détermination de l'angle pour z₁ Passage par la forme trigonométrique
Pour z₂

Suite en Forme exponentielle

Identité trigonométrique
Identité classique
Avec des conjugués

Voir Autres identités trigonométriques

Géométrie
Point milieu H de MM'
Centre gravité G de M, M' et M"
Vecteurs égaux (équipotents) MM' et PP' Formation d'un parallélogramme Si (m' – m) = (p' – p) m, m', p et p' sont les affixes des points		Le quadrilatère MM'PP' est un parallélogramme.